Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 30 стр.

                Примерный вариант контрольной работы №7

1. Найти область определения функции z = ln( x-y ).
2. Найти частные производные функции z = x3+2xy2+x2y-2 в точке A(1; 2) и произ-
   водную по направлению вектора�l, идущему от точки A к точке B=(2; 1).
3. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала ( 0,98 )2⋅( 1,04 )2.
4. Найти все вторые частные производные функции z = xy −y 2 .
5. Найти экстремумы функции z = 2x2- y2+xy-2x.

                             Дифференциальные уравнения

   Пример 28. Решить задачу Коши:

                                      y (0 ) =0.
                         2
     y ′ +2 xy −x ⋅ e −x =0;

     Решение. 1) Найдем общее решение дифференциального уравнения. Данное
уравнение первого порядка является линейным. Следовательно, произведем сле-
дующую замену переменной: y (x ) =u (x )⋅ v(x ),              y ′ =u ′ ⋅ v +u ⋅ v′.
Тогда
u ′ ⋅ v +u ⋅ v′ +2 x ⋅ u ⋅ v −x ⋅ e −x =0, или u ′ ⋅ v +u ⋅ (v′ +2 x ⋅ v ) −x ⋅ e −x =0.
                                      2                                             2


Подберем теперь такую функцию v(x), чтобы v′+2xv=0. То есть v(x) будем ис-
кать как решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменны-
ми:
dv                  dv                    dv                                x2
dx
      =−2 xv,
                    v
                        =−2 x ⋅ dx,      ∫ v =−2∫xdx, ln v =−2 ⋅ 2 +C.
                                                                  2
При С = 0 получим: ln| v | = -x2. Следовательно, v =e −x .
При таком выборе функции v(x) исходное дифференциальное уравнение примет
вид: u ′ ⋅ e −x =x ⋅ e −x , или u ′(x ) =x.
               2         2


                                         x2
Следовательно, u (x ) =∫x ⋅ dx =            +C . Таким образом,
                                         2
                             � x2      �
     y(x ) =u (x )⋅ v(x ) =��
                                              2
                                  +C �� ⋅ e −x .
                              � 2        �

2) Для решения задачи Коши воспользуемся начальным условием y(0)=0.
                                  x 2 −x 2
Тогда C ⋅ e =0. ⇒ C =0. ⇒ y (x ) = ⋅ e .
           0

                                  2
                    2
                  x
   Ответ: y (x ) = ⋅ e −x .
                         2

                  2



                                                   30