Математика и информатика. Филимонова Л.В - 25 стр.

                                                        25

вательность цифр, т.е. имеем дело с размещениями без повторений:
А54=5⋅4⋅3⋅2=120. ♦
      Пример 4.1.4. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уро-
ков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание
на 1 день?
                                          10!      10!
       Решение:                А105 =            =     = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 30240. ♦
                                        (10 − 5)! 5!
     Опр. 4.1.3 Сочетаниями из n по m называются всевозможные
подмножества данных n элементов, состоящие из m элементов. Для
подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:
                                                        n!     Am
                                           Сnm =              = n . (3).
                                                    m!(n − m)! m!
     Пример 4.1.5. Сколькими способами можно из 7 различных от-
крыток выбрать три?
     Решение: Совокупность трех открыток является неупорядочен-
ным подмножеством семи открыток, поэтому имеем дело с сочета-
                                     7!     7⋅6⋅5
ниями:                     C73 =          =       = 35. ♦
                                    3!⋅4!    3⋅ 2

                  п.2 Соединения с повторениями
      Опр: 4.2.1 Перестановками с повторениями называются пере-
становки из n элементов, в каждую из которых входит n1 элементов а,
n2 элементов b, …, nk элементов l, где n=n1+n2+…+nk. Число переста-
новок с повторениями вычисляется по формуле:
                                             n!             (n + n2 + ... + n k )!
                            Pn =                           = 1
                                     n1!⋅n 2 !⋅... ⋅ n k !     n1!⋅n 2 !⋅... ⋅ n k !
      Пример 4.2.1 Сколькими способами можно переставить буквы в
слове “математика”.
Решение: В слове “математика” есть повторяющиеся буквы: “м” – 2
раза, “а” – 3 раза, “т” – 2 раза, “е” – 1 раз, “и” – 1 раз, “к” – 1 раз. По-
рядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, так как
если переставить местами 2 буквы, то получатся разные слова) и все
элементы используются, следовательно, это перестановка с повторе-
ниями.
                     (n1 + n2 + ... + nk )!               10!           4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
Pn (2,3,2,1,1,1) =                              =                     =                            = 151200
                        n1!⋅n 2 !⋅... ⋅ n k !       2!⋅3!⋅2!⋅1!⋅1!⋅1!               4
Таким образом, в слове “математика” можно переставить буквы
151200 способами.
      Опр 4.2.2 Сочетания из n элементов, в каждое из которых вхо-
дит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в
каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются соче-
таниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисля-
ется по формуле: