Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть вторая. МКТ и термодинамика. Филимонова Л.В. - 90 стр.

                                            - 90 -


                                                                                      Приложение 2.
                             Решение задачи № 2.9.
Из математики:
Рассмотрим интеграл
                                                 ∞           2
                                     I 0 = ∫ e − x dx .
                                             −∞

Тогда квадрат этого интеграла можно записать так:
                            ∞    2          ∞            2                    2   2
         I 0 2 = I 0 ⋅ I 0 = ∫ e − x dx ⋅ ∫ e − y dy = ∫∫ e − x ⋅ e − y dxdy =
                           −∞               −∞                           xy
                                   ⎡ x = r cos ϕ ⎤
         = ∫∫ e − ( x + y ) dxdy = ⎢ y = r sin ϕ ⎥ = ∫∫ e − r rdrdϕ =
                  2    2                                        2

                                   ⎢ 2       2      2
                                                      ⎥
           S                            =      +           S
                                   ⎣⎢ r    x      y   ⎦⎥
           2π        ∞                   2π                       2π
                        − r2 1       2          1 − r2 ∞             1
         = ∫ dϕ ⋅ ∫ e        ⋅ d (r ) = ∫ (− e           |0 )dϕ = ∫ dϕ = π .
            0        0        2           0     2                  0 2

Здесь S – координатная плоскость (ху). Отсюда
                                                     ∞           2
                                                        −x
                           I 0 = π , т.е.            ∫ e dx = π
                                                     −∞

и
                                     ∞
                                        −x   2                   π
                                     ∫ e dx =                    2
                                                                     .
                                     0

Далее усложним интеграл:
                    ∞      2      ⎡ α x = y⎤   1 ∞ − y2      1   π .
         I 0 (α ) = ∫ e −αx dx = ⎢      dy ⎥ =   ∫ e    dy =   ⋅
                    0            ⎢⎣dx = α ⎥⎦   α 0           α 2
Итак
                                 ∞
                                         −αx 2               1 π
                                 ∫e              dx =
                                 0                           2 2

Далее переходим к физической задаче.
    ∞                      3∞ 3 − ε
ε = ∫ εf (ε )dε = 2 (kT )− 2 ∫ ε 2 e kT dε ⇒ ε = ?
    0             π          0