Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 53 стр.

                                                      53


                        τ
                                                τ ⎛ sin(ω − ω 0 ) τ 2 sin(ω + ω 0 ) τ 2 ⎞⎟
  {          }       2
F cos ω 0 x = lim ∫ cos ω 0 x ⋅ e − iωx dx = lim ⎜
                                                2 ⎜⎝ (ω − ω 0 ) τ 2
                                                                     +
                                                                        (ω − ω 0 ) τ 2 ⎟⎠
                                                                                           ⇒
             τ →∞ τ
                    −
                      2
      {          } (
⇒ F cos ω 0 x = π δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ) .   )
Аналогично,
                             {         } (
                            F sin ω 0 x = iπ δ (ω − ω 0 ) − δ (ω + ω 0 ) .  )
          Спектры этих функций состоят из двух дельта-функций (на частотной оси!)
при
ω = ω 0 и ω = −ω 0 .
          Легко можем показать, что функции спектральной плотности функций

                        f1( x) = cos ω 0 x ⋅ 1( x) и f 2 ( x) = sin ω 0 ⋅ 1( x) ,

т.е. функций, тождественно равных нулю, при x < 0 , определяются выражениями:

                   {               } (π
                 F cos ω 0 x ⋅ 1( x) = δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ) +    )iω
                                                                                ,
                                      2                              ω 02 − ω 2
                                                                          ω0
                   {               }
                 F sin ω 0 x ⋅ 1( x) =
                                       π
                                       2i
                                         (δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ) + )2     2
                                                                                 .
                                                                        ω0 − ω

     Спектры этих функций являются уже бесконечно широкими. Графики ам-
плитудного и фазового спектров исследованных функций представлены в табли-
це.