Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 51 стр.

                                                      51


                                          1                                   ω
                       F f (ω ) =                 ,        ϕ f (ω ) = arctg     .
                                        α2 +ω2                                α

Переходя к пределу при α → 0 , получим

                                               ⎧π
                                    1          ⎪ , приω > 0,
                         F (ω ) = , а ϕ (ω ) = ⎨ 2
                                 ω                 π
                                               ⎪ − , приω < 0.
                                               ⎩ 2
5.   Спектр дельта-функции. Напомним, что дельта-функцией (или функцией
Дирака нулевого порядка) δ (x) называется функция

                         δ ( x) = lim δ ( x, h) = ⎧⎨ 0+, ∞ , приx = 0,
                                                         приx ≠ 0,
                                    n→0                    ⎩

для которой
                                          ∞
                                           ∫ δ ( x)dx = 1 .
                                          −∞
      Эту функцию можно определить как предел функции

                                                        ⎧
                                                        ⎪
                                                        ⎪
                                1                       ⎪ 0, при x < 0,
                     δ ( x, h) = (1( x) − 1( x − h) ) = ⎨
                                h                          1
                                                        ⎪ , при 0 ≤ x ≤ h,
                                                        ⎪h
                                                        ⎪⎩ 0, при x > h

h → 0 . Вообще дельта-функцию можно определить как предельную функцию по-
следовательности самых различных функций. Соответствующим образом полу-
чим и выражение для прямого преобразования Фурье дельта-функции.
      Так, например, спектр функции

                                             ⎧1            τ
                                             ⎪ τ , при x < 2 ,
                                    f ( x) = ⎨
                                                          τ
                                             ⎪ 0, при x > .
                                             ⎩            2
                          2     τω
нам известен: F f (ω ) =    sin    .
                         τω      2
      При τ → 0 , f ( x) → δ (ω ) и F (ω ) = 1 .