Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 49 стр.

                                                 49



                         1 ∞          iωx dω ,
                                                             ∞
             f ( x) =       ∫ F (ω )e               F (ω ) = ∫ f (t )e − iωt dt .
                        2π − ∞                              −∞
     Если f - периодическая функция, то Cn , n = 0,±1,±2,... называется её ком-
плексным спектром. Очевидно, что периодическая функция обладает дискретным
спектром, т.е. его составляющие существуют только в точках 0, ω 0 , ± 2ω 0 ,… Ве-
              π 2π
личину ω 0 = =        называют угловой частотой.
              l T

     На практике часто различаем Cn - амплитудный спектр и ϕ n = − arg Cn -
фазовый спектр.
     Если f – непериодическая функция, то F (ω ) называется ей функцией спек-
тральной плотности или просто спектром. И в этом случае различаем F (ω ) - ам-
плитудный спектр, а ϕ (ω ) = − arg F (ω ) - фазовый спектр.

      Сравнив Cn и F (ω ) , можем установить связь между спектрами периодиче-
ской и непериодической функций:
                                   ω                        2π
                               Сn = 0 F (nω 0 ) , где ω 0 =    .
                                   2π                       T
Составляющие спектра Cn периодической функции пропорциональны соответст-
вующим значениям спектральной функции F (ω ) в точках nω 0 (в которых Сnтолько
и существует).
     Из этого равенства становится ясным, почему F (ω ) называется функцией
спектральной плотности – её размерность [амплитуда / частота ] .
     Далее найдём спектры некоторых наиболее широко распространённых не-
периодических функций. Зная их, нетрудно определить и спектры соответствую-
щих периодических функций.
           19. ФУРЬЕ- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ

                      ⎧⎪ eαx , при x ≥ 0,
I.           f ( x) = ⎨ 0, при x < 0.     (α > 0)
                       ⎪⎩

                                                                                       ω
         ∞                    ∞                                                 − iarctg
F (ω ) = ∫ e − αt e − iωt dt + ∫ e − (α + iω )t dt ⇒ F (ω ) =
                                                                1        1               α.
                                                                     =        e
         0                     0                              α + iω   α2 +ω2