Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

47
17. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
Рассмотрим интеграл Фурье
dtxttfdxf )(cos)(
0
1
)( −
∫
∞
∞
−
∫
∞
=
ωω
π
. (1)
Так как интеграл dtxttf )(cos)( −
∫
∞
∞
−
ω
является чётной функцией аргумента
ω
, и в
смысле главного значения равенство (1) можно записать в виде
dtxttfdxf )(cos)(
2
1
)( −
∫
∞
∞
−
∫
∞
∞
−
=
ωω
π
. (2)
Аналогично, интеграл
dtxttf )(sin)( −
∫
∞
∞
−
ω
является нечётной функцией от
ω
, и в
смысле главного значения
0)(sin)(
2
1
=−
∫
∞
∞
−
∫
∞
∞
−
dtxttfd
ωω
π
. (3)
Вычитая из равенства (2) равенство (3) , умноженное на
i , с учётом формул Эйле-
ра, получим:
()
dt
xti
etfddtxtixttfdxf
)(
)(
2
1
(sin)cos()(
2
1
)(
−−
∫
∞
∞
−
∫
∞
∞
−
=−−−
∫
∞
∞
−
∫
∞
∞−
=
ω
ω
π
ωω
π
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула
dt
xti
etfdxf
)(
)(
2
1
)(
−−
∫
∞
∞
−
∫
∞
∞
−
=
ω
ω
π
. (4)
Отметим, что в точке разрыва первого рода интеграл Фурье в комплексной
форме сходится к значению
2
)0()0(
−
+
+ xfxf
.
Перепишем интеграл Фурье в виде
dt
ti
etfd
xi
exf
ω
ω
ω
π
−
∫
∞
∞
−
∫
∞
∞−
= )(
2
1
)(
. 
                                                         47


                    17. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ.
                                    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
       Рассмотрим интеграл Фурье

                            1∞     ∞
                 f ( x) =     ∫ dω ∫ f (t ) cosω (t − x)dt .                                    (1)
                            π 0 −∞

                 ∞
Так как интеграл ∫ f (t ) cosω (t − x)dt является чётной функцией аргумента ω , и в
                 −∞
смысле главного значения равенство (1) можно записать в виде

                             1 ∞     ∞
                 f ( x) =       ∫ dω ∫ f (t ) cos ω (t − x)dt .                                  (2)
                            2π − ∞ − ∞

                      ∞
Аналогично, интеграл ∫ f (t ) sin ω (t − x)dt является нечётной функцией от ω , и в
                     −∞
смысле главного значения

                  1 ∞     ∞
                     ∫ dω ∫ f (t ) sin ω (t − x)dt = 0 .                                              (3)
                 2π − ∞ − ∞

Вычитая из равенства (2) равенство (3) , умноженное на i , с учётом формул Эйле-
ра, получим:

            1 ∞     ∞                                             1 ∞     ∞         − iω (t − x) dt
f ( x) =       ∫ dω ∫ f (t ) (cos(t − x ) − i sin ω (t − x )dt =     ∫ dω ∫ f (t )e
           2π − ∞ − ∞                                            2π − ∞ − ∞

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула

                             1 ∞     ∞         − iω (t − x) dt .
                 f ( x) =       ∫ dω ∫ f (t )e                                                        (4)
                            2π − ∞ − ∞

     Отметим, что в точке разрыва первого рода интеграл Фурье в комплексной
                           f ( x + 0) + f ( x − 0)
форме сходится к значению                          .
                                      2
       Перепишем интеграл Фурье в виде

                                              1 ∞ iωx   ∞
                                                                  − iωt dt .
                                  f ( x) =       ∫ e dω ∫ f (t )e
                                             2π − ∞    −∞

Страницы