Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

46
)0(0)( >≥
−
=
α
α
приx
x
exf
.
Для того, чтобы найти косинус-иреобразование, доопределяем функцию в
интеграле
][
0,∞− чётным образом и получаем функцию
.,)(
*
+∞<<−∞
−
= x
x
exf
α
Тогда
22
0
2
cos
2
)(
ωα
α
π
ω
α
π
ω
+
⋅
∫
∞
=
−
= tdt
t
ea
и
0,
0
22
cos2
cos
0
)(
~2
≥
∫
∞
+
=
∫
∞
=
−
xd
x
xda
x
e
ω
ωα
ω
π
α
ωωω
π
α
Для того, чтобы найти синус-преобразование, доопределяем функцию не-
чётным образом:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
−
<−
=
,0,
0,
)(
*
приx
x
e
приx
x
e
xf
α
α
Тогда
22
2
sin
0
2
)(
~
ωα
ω
π
ω
α
π
ω
+
⋅=
∫
∞
−
= tdt
x
eb
.
функцию
x
e
α
−
можно представить следующим образом:
ω
ωα
ωω
π
ωωω
π
α
d
x
xdb
x
e
∫
∞
+
∫
∞
==
−
0
22
sin2
0
sin)(
~2
.
Таким образом, мы не только решили поставленную задачу, но и вычислили так
называемые интегралы Лапласа:
0,
2
0
22
cos
≥
−
=
∫
∞
+
приx
x
ed
x
α
α
π
ω
ωα
ω
и
0,
2
0
22
sin
>
−
=
∫
∞
+
приx
x
ed
x
α
π
ω
ωα
ωω
. 
                                                      46



                                f ( x) = e − αx приx ≥ 0(α > 0) .

     Для того, чтобы найти косинус-иреобразование, доопределяем функцию в
интеграле ]− ∞,0[ чётным образом и получаем функцию

                                               −α x
                                f * ( x) = e          ,−∞ < x < +∞.

Тогда

                                 2 ∞ − αt            2    α
                     a(ω ) =       ∫e     cos ωtdt =   ⋅
                                 π 0                 π α2 +ω2

             2∞ ~                   2α ∞ cos ωx
и e − αx =     ∫ a ( ω ) cos ωxdω =    ∫         dω , x ≥ 0
             π 0                    π 0α 2 + ω 2

     Для того, чтобы найти синус-преобразование, доопределяем функцию не-
чётным образом:

                                            ⎧⎪ e − αx , приx > 0,
                                 f * ( x) = ⎨
                                             ⎪⎩ − eαx , приx < 0

Тогда

                      ~          2 ∞ − αx            2    ω
                     b (ω ) =      ∫e     sin ωtdt =   ⋅      .
                                 π 0                 π α2 +ω2

функцию e − αx можно представить следующим образом:

                                2∞ ~                   2 ∞ ω sin ωx
                   e − αx =       ∫ b ( ω ) sin ωxdω =   ∫          dω .
                                π 0                    π 0α 2 + ω 2

Таким образом, мы не только решили поставленную задачу, но и вычислили так
называемые интегралы Лапласа:
                          ∞ cos ωx       π − αx
                          ∫ 2       dω =    e   , приx ≥ 0
                          0 α + ω 2      2α

и
                          ∞ ω sin ωx     π
                          ∫ 2        dω = e − αx , приx > 0 .
                                   2     2
                          0α + ω

Страницы