Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

44
∫
∞
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
<
>
=
0
,1,
2
1
,1,1
.1,0
)cos(
)sin(2
xпри
xпри
xпри
dx
ωω
ω
ω
π
называется разрывным множителем Дирихле.
Преобразуем интеграл Фурье следующим образом:
()
∫
∞
∫
∞
∞
−
∫
∞
∫
∞
∞
−
+=
∫
∞
∫
∞
∞−
=+
∫
∞
∞−
=−
∫
∞
=
00
)sin()()sin(
1
)cos()()cos(
1
0
)sin()sin()cos()cos()(
1
))(cos()(
0
1
)(
dtttfdxdtttfdx
dtxtxttfddtxttfdxf
ωωω
π
ωωω
π
ωωωωω
π
ωω
π
Обозначим:
,)cos()(
1
)(
∫
∞
∞
−
= dtttfa
ω
π
ω
(8)
∫
∞
∞
−
= .)sin()(
1
)( dtttfb
ω
π
ω
(9)
Тогда
()
∫
∞
+=
0
)sin()()cos()()(
ωωωωω
dxbxaxf
. (10)
В таком виде интеграл Фурье похож на ряд Фурье. Суммирование по дис-
кретному параметру
Nn
∈
заменено интегрированием по непрерывно меняющему-
ся параметру
ω
. Коэффициенты
b
a
и
n
b
аналогичны коэффициентам
)(
ω
a
и
)(
ω
b
.
16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
I.
Предположим, что
][
+∞∞−∈ ,
1
Lf
и является чётной функцией.
Очевидно, что 0)(
≡
ω
b и 
                                                   44




                                                     ⎧1, при x < 1,
                                                     ⎪
                                                     ⎪ 1 , при x = 1,
                             2 ∞ sin(ω )             ⎪
                               ∫         cos(ωx)dω = ⎨ 2
                             π 0 ω                     0, при x > 1.
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎩
называется разрывным множителем Дирихле.
        Преобразуем интеграл Фурье следующим образом:

     1∞ ∞                               1∞    ∞
f ( x) =∫ dω ∫ f (t ) cos(ω (t − x))dt = ∫ dω ∫ f (t )(cos(ωt ) cos(ωx) + sin(ωt ) sin(ωx)dt ) =
     π 0 −∞                             π 0 −∞

 1∞            ∞                      1∞            ∞
= ∫ cos(ωx)dω ∫ f (t ) cos(ωt )dt + ∫ sin(ωx)dω ∫ f (t ) sin(ωt )dt
 π 0          −∞                      π 0          −∞

Обозначим:

                        1 ∞
             a (ω ) =      ∫ f (t ) cos(ωt )dt ,                                          (8)
                        π −∞

                        1 ∞
             b(ω ) =       ∫ f (t ) sin(ωt )dt.                                            (9)
                        π −∞

Тогда
                      ∞
              f ( x) = ∫ (a(ω ) cos(ωx) + b(ω ) sin(ωx) )dω .                      (10)
                       0
      В таком виде интеграл Фурье похож на ряд Фурье. Суммирование по дис-
кретному параметру n ∈ N заменено интегрированием по непрерывно меняющему-
ся параметру ω . Коэффициенты ab и bn аналогичны коэффициентам a (ω ) и b(ω ) .

                 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

I. Предположим, что f ∈ L1 ]− ∞,+∞[ и является чётной функцией.

Очевидно, что b(ω ) ≡ 0 и

Страницы