Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 42 стр.

                                                              42


                                                      f ( x + 0) + f ( x − 0)
                                           f ( x) =                           .
                                                                 2
      Выражение интеграла Фурье получим из ряда Фурье периодической функ-
ции f ∈ L1 .
Для этого в ряд (2) подставим выражения коэффициентов a0 , a k и bk . Имеем:

           1 l                1 ∞ ⎛⎜ l                πn            πn ⎞⎟ ⎛⎜ l              πn        ⎞ πn
                                                                                                      ⎟ sin( x) ⇒
f ( x) =       ∫  f (t ) dt +    ∑      ∫  f (t ) cos(   t ) dt cos(  x)   +   ∫ f (t ) sin(   t ) dt
           2l − l                    ⎜
                              l n = 1⎝ − l             l                 ⎟
                                                                     l ⎠ ⎝− l⎜               l        ⎟     l
                                                                                                      ⎠
           1 l             1 ∞ l           πn
f ( x) =       ∫ f (t )dt + ∑ ∫ f (t ) cos( (t − x))dx .
           2l − l          l n = 1− l       l

Вводим обозначения:
                                       π           2l          πn            π
                                ω1 =       ,ω2 =      ,...ω n = ,...u ∆ ω n = .
                                       l           l            l            l
Тогда

                               1 l              1 ∞ ⎛⎜ l                               ⎞
                    f ( x) =       ∫ f (t )dt +    ∑       ∫ f (t ) cos(ω n (t − x))dt ⎟ ∆ ω n
                               2l − l           π n = 1⎜⎝ − l                          ⎟
                                                                                       ⎠
        Пусть l → ∞ (функция f из периодической становится не периодической).
        Очевидно, что

                        1 l               1 l                1 ∞               M
                            ∫ f (t ) dt ≤     ∫  f (t ) dt ≤     ∫ f (t ) dt =    → 0,
                        2l − l            2l − l             2l − ∞            2l

        Второе слагаемое из выражения (6) с учётом обозначения
                                                 l
                                      Φ (ω n ) = ∫ f (t ) cos(ω n (t − x))dt
                                                −l
приводим к виду

                   1 ∞ ⎛⎜ l                                 ⎞
                                                            ⎟        1 ∞
                      ∑       ∫ f (t ) cos(ω n (t − x )) dt   ∆ ω n π ∑ Φ (ω n ) ⋅ ∆ ω n .
                                                                   =
                   π n = 1⎜⎝ − l                            ⎟
                                                            ⎠         n =1
      В таком виде эта сумма напоминает интегральную сумму функции Ф ( ω ) на
отрезке [0,+∞] .
        Перейдя к пределу l → ∞ , получаем