Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

40
Подставим эти выражения в ряд (1), имеем:
∑
∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
+⋅
−
+=
∑
∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
+
+=
∑
∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
+
+=
1
.
222
1
22
2
1
222
)(
0
00
n
inx
e
n
ib
n
a
inx
e
n
ib
n
a
a
n
inx
e
inx
e
n
ib
inx
e
inx
e
n
a
a
n
i
inx
e
inx
e
n
b
inx
e
inx
e
n
a
a
xf
Обозначим:
,
2
0
0
c
a
=
,
2
n
c
n
ib
n
a
=
−
n
c
n
ib
n
a
−
=
+
2
. (2)
Тогда
.
1
111
)(
0
00
∑
∞
−∞=
=
∑
∞
−∞=
+
∑
∞
=
+=
∑
∞
=
∑
∞
=
=
−
−
++=
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+⋅+=
n
inx
e
n
c
inx
e
n
n
c
inx
e
n
n
cc
nn
inx
e
n
c
inx
e
n
cc
n
inx
e
n
c
inx
e
n
ccxf
Итак, получили
inx
e
n
n
cxf
∑
∞
−
∞
=
=)(
.
Выражение (3) называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x) с
комплексными коэффициентами Фурье с
n
.
Коэффициенты Фурье c
n
выразим через интегралы.
()
[]
∫
−
−
=
∫
−
=−+−
∫
−
=−=−=
π
π
π
π
π
π
π
ππ
.)(
2
1
)sin()cos()(
2
1
)sin()cos()(
2
1
2
1
dx
inx
exf
dxnxinxxfdxnxinxxf
n
ib
n
a
n
c
Эта формула верна при n=0, ±1,±2,…
Если f(x) – периодическая с периодом
l2
функция, то её комплексный ряд
Фурье имеет вид:
,)(
l
xin
e
n
n
cxf
π
∑
∞
−
∞
=
=
а коэффициенты Фурье определяются по формуле 
                                                   40


Подставим эти выражения в ряд (1), имеем:

       a0   ∞ ⎛ einx + e− inx       einx − e− inx ⎞⎟ a0
f ( x) =  + ∑ ⎜ an             + bn                  = +
        2 n = 1⎜       2                   2i      ⎟ 2
               ⎝                                   ⎠
  ∞ ⎛ einx + e− inx       einx − e− inx ⎞⎟ a0      ∞ ⎛ a − ib inx a + ib
+ ∑ ⎜ an            − ibn                  = + ∑ ⎜⎜ n        n ⋅e + n   n ⋅ e− inx ⎞⎟.
      ⎜        2                2        ⎟ 2             2            2             ⎟
 n = 1⎝                                  ⎠      n = 1⎝                              ⎠
Обозначим:

               a0          an − ibn             an + ibn
                  = c0 ,              = cn ,             = c− n .                       (2)
               2               2                   2
Тогда
              ∞                                       ∞          ∞
f ( x) = c0 + ∑ ⎛⎜ cn ⋅ einx + c− n e − inx ⎞⎟ = c0 + ∑ cneinx + ∑ c− n e − inx =
             n = 1⎝                          ⎠       n =1       n =1
          ∞              ∞                    ∞
= c0 + ∑ cn einx + ∑ cn einx = ∑ cneinx .
        n =1          n = −∞              n = −∞
Итак, получили
                                                  ∞     inx
                                    f ( x) =      ∑ cn e .
                                               n = −∞
     Выражение (3) называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x) с
комплексными коэффициентами Фурье сn.
        Коэффициенты Фурье cn выразим через интегралы.
                 1 π                                     1 π
    1
    2
           (
cn = an − ibn =  )  ∫
                2π − π
                       f ( x ) cos(nx) − i sin(nx) dx =     ∫ f ( x)[cos(−nx) + i sin(−nx)]dx =
                                                        2π − π

   1 π          − inxdx.
=     ∫ f ( x)e
  2π − π
Эта формула верна при n=0, ±1,±2,…
     Если f(x) – периодическая с периодом 2l функция, то её комплексный ряд
Фурье имеет вид:
                                                   inπx
                                               ∞
                                   f ( x ) = ∑ cn e l ,
                                            n = −∞
а коэффициенты Фурье определяются по формуле

Страницы