Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

41
.)(
2
1
dx
xin
exf
n
c
l
l
l
l
π
−
∫
−
=
15. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Предположим, что функция f(x) является кусочно-гладкой и периодической
с периодом
l2
, кроме того, определим
.
2
)0()0(
)(
−
+
+
=
xfxf
xf
Тогда периодическая функция f(х) является непрерывной и имеет непре-
рывную производную на всей числовой оси, за исключением, может быть, конеч-
ного числа точек на отрезке
[
]
ll,
−
. Кроме того, в этих точках существуют конеч-
ные пределы
f и f
′
слева и справа. Множество обладающих такими свойствами
функций обозначим через L
1
.
Каждую
1
Lf ∈ можно представить рядом Фурье
,
1
)sin()cos(
2
)(
0
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
n
x
n
k
bx
n
k
a
a
xf
ll
ππ
(2)
коэффициенты которого определяются по формулам:
∫
−
=
l
l
l
dttfa )(
1
0
, (3)
dtt
n
tf
n
a )cos()(
1
∫
−
=
l
l
ll
π
, (4)
∫
−
=
l
l
ll
dtt
n
tf
n
b )sin()(
1
π
. (5)
Исследуя ряд Фурье, мы доказали, что ряд Фурье функции
1
Lf ∈ сходится к f(x).
.R
x
∈∀
Предположим, что функция f является непериодической кусочно-гладкой на
любом конечном отрезке вещественной числовой оси и абсолютно интегрируема
на ней.
Множество кусочно-гладких на вещественной оси функций обозначим че-
рез L
1
[]
+∞∞− ,
. Кроме того, как и в случае периодических функций, определим 
                                                       41


                                                            − inπx
                                         1 l                   l dx.
                                    cn =     ∫ f ( x )e
                                         2l − l

                           15. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
      Предположим, что функция f(x) является кусочно-гладкой и периодической
с периодом 2l , кроме того, определим
                                               f ( x + 0) + f ( x − 0)
                                    f ( x) =                           .
                                                          2
      Тогда периодическая функция f(х) является непрерывной и имеет непре-
рывную производную на всей числовой оси, за исключением, может быть, конеч-
ного числа точек на отрезке [− l, l] . Кроме того, в этих точках существуют конеч-
ные пределы f и f ′ слева и справа. Множество обладающих такими свойствами
функций обозначим через L1.
       Каждую f ∈ L1 можно представить рядом Фурье

                        a0   ∞ ⎛        πn           πn ⎞
             f ( x) =      + ∑ ⎜ ak cos( x) + bk sin( x) ⎟,                (2)
                        2 n = 1⎝         l            l ⎠

коэффициенты которого определяются по формулам:

                   1 l
            a0 =     ∫ f (t )dt ,                                            (3)
                   l−l

                   1 l            πn
            an =     ∫ f (t ) cos( t )dt ,                                       (4)
                   l−l             l

                1 l           πn
            bn = ∫ f (t ) sin( t )dt .                                           (5)
                l−l            l

Исследуя ряд Фурье, мы доказали, что ряд Фурье функции f ∈ L1 сходится к f(x).
∀ x ∈ R.

      Предположим, что функция f является непериодической кусочно-гладкой на
любом конечном отрезке вещественной числовой оси и абсолютно интегрируема
на ней.
      Множество кусочно-гладких на вещественной оси функций обозначим че-
рез L1 [− ∞,+∞]. Кроме того, как и в случае периодических функций, определим

Страницы