Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 39 стр.

                                                 39


                                                                    1
                                  1 l          0        1        x2      1
                            a0 = ∫ f ( x)dx = ∫ 0dx + ∫ x dx =         = ;
                                  l−l          −1       0         2      2
                                                                     0
                                                ⎧                      1         ⎫
                                                ⎪ cos(nπx)dx = dv v = nπ sin(πx) ⎪ x sin(nπx)
       1 l              nπx        1                                                          1
an = ∫ f ( x) cos( )dx = ∫ x cos(nπx)dx = ⎨u = x                                 ⎬ =            −
       l −l               l        0            ⎪                 du = dx        ⎪     nπ     0
                                                ⎩                                ⎭
     1 1                    1            1   1                  1 ⎡       n ⎤
−      ∫ sin(nπx)dx = 2 2 cos(nπx) 0 = 2 2 (cos(πn) −1) = 2 2 ⎢(−1) −1⎥ =
    nπ 0                n π                n π                n π    ⎣        ⎦
  ⎧
  ⎪⎪
= ⎨ 0, n = 2k , k = 1,2,...;
          2
   ⎪−         , n = 2k + 1, k = 0,1,...;
   ⎪⎩ n π 2
         2
                                              ⎧                     cos(nπx) ⎫       1
     1 l           nπx      1                 ⎪sin(nπx)dx = dv v = − nπ ⎪ x cos(nπx)
bn = ∫ f ( x) sin( )dx = ∫ x sin(nπx)dx = ⎨u = x                             ⎬=−       +
     l −l            l      0                 ⎪                du = dx       ⎪   nπ  0
                                              ⎩                              ⎭
                                                  1
   1 1                 cos(nπ )     1                   (−1)n (−1)n + 1
+     ∫ cos(nπx)dx = −          +       sin(nπ x)   = −      =          .
  nπ 0                   nπ        2
                                  n π 2                  nπ       nπ
                                                  0

     Подставляем эти значения коэффициентов в формулу (5) и получаем ряд
Фурье для данной Функции:

                         1 2 ∞ cos((2k + 1) x) 1 ∞ (−1) k + 1
              f ( x) =    −      ∑              +    ∑        sin( kπx)
                         4 π 2 k = 0 (2k + 1) 2   π k =1 k

                                                      1
Сумма этого ряда в точках x=±1,±3,… равна               .
                                                      2

                     14. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ.
Пусть функция f(x) на [− π , π ] разложена в ряд Фурье

                           ∞
                      a
                                 (
              f ( x) = 0 + ∑ an cos( x) + bn sin( x) .
                       2 n =1
                                                            )                             (1)


Воспользуемся формулами Эйлера:

                        einx + e − inx             einx − e − inx
             cos(nx ) =                , sin(nx) =                .
                              2                         2i