Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

37
),sin(
1
1
)1(
2 nx
n
n
n
x
∑
∞
=
+
−
=
[
]
π
,0
∈
x . ▲
13. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2ℓ
Пусть f(x) – периодичная с периодом
l2
(
)
π
≠
l
функция, которая на отрезке
[]
ll,−
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Разложим её на этом отрезке в
ряд Фурье. Обозначим
π
t
x
l
= . (1)
Тогда
)()( t
t
fxf
ϕ
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
Функция
)(t
ϕ
- уже
π
2 - периодическая функция, так как
)(2)2()2( t
t
f
t
ftft
ϕ
ππ
π
π
πϕ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+
l
l
ll
.
Функцию
)(t
ϕ
разложим в ряд Фурье на отрезке
[
]
π
π
,
−
()
.
1
)sin()cos(
2
0
)(
∑
∞
=
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
nt
n
bnt
n
a
a
t
ft
π
ϕ
l
. (2)
Коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:
,1,0,)cos(
1
=
∫
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ndtnt
t
f
n
a
π
π
ππ
l
…, (3)
,...2,1,)sin(
1
=
∫
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ndtnt
t
f
n
b
π
π
ππ
l
(4)
Возвращаясь к прежней переменной х, из равенства (1) имеем
l
x
t
π
=
. Тогда
ряд (2) можно представить в виде
∑
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
1
.)sin()cos(
2
0
)(
n
xn
n
b
xn
n
a
a
xf
ll
ππ
(5)
В интегралах (3) и (4) произведём замену переменной: 
                                                       37



                               ∞ (−1) n + 1
                           x=2 ∑            sin(nx),                x ∈ [0, π ].     ▲
                              n =1   n

                       13. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2ℓ
         Пусть f(x) – периодичная с периодом 2l (l ≠ π ) функция, которая на отрезке
[− l, l] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Разложим её на этом отрезке в
ряд Фурье. Обозначим
              lt
         x=        .                                                                      (1)
              π
Тогда

                                                     ⎛ lt ⎞
                                          f ( x) = f ⎜ ⎟ = ϕ (t )
                                                     ⎝π ⎠
Функция ϕ (t ) - уже 2π - периодическая функция, так как

                                     ⎛l            ⎞    ⎛ lt        ⎞       ⎛ lt ⎞
                       ϕ (t + 2π ) = f ⎜ (t + 2π ) ⎟ = f ⎜ + 2l ⎟ = f ⎜ ⎟ = ϕ (t ) .
                                       ⎝π          ⎠     ⎝π     ⎠     ⎝π ⎠
        Функцию ϕ (t ) разложим в ряд Фурье на отрезке [− π , π ]

                                        ∞
               ϕ (t ) = f ⎜
                            ⎛ lt ⎞ a0
                                 ⎟=            (
                                      + ∑ an cos(nt ) + bn sin( nt ) . .
                            ⎝ π ⎠ 2 n =1
                                                                              )                  (2)


Коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:

                         1 π      ⎛ lt ⎞
               an =         ∫   f ⎜ ⎟ cos(nt )dt , n = 0,1, …,                                   (3)
                         π −π     ⎝π ⎠

             1 π ⎛ lt ⎞
        bn =    ∫ f ⎜ ⎟ sin( nt )dt , n = 1,2,...                                               (4)
             π −π ⎝ π ⎠

                                                                                         πx
        Возвращаясь к прежней переменной х, из равенства (1) имеем t =                        . Тогда
                                                                                         l
ряд (2) можно представить в виде
             a    ∞ ⎛         nπx             nπx ⎞
     f ( x) = 0 + ∑ ⎜ an cos(     ) + bn sin(    ) ⎟.                                           (5)
              2 n = 1⎝         l               l ⎠

В интегралах (3) и (4) произведём замену переменной:

Страницы