Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

35
Поскольку f
1
(x) – чётная на
[
]
π
π
,
−
функция, то её ряд Фурье содержит только ко-
синусы:
).cos(
1
2
0
)(
1
nx
n
n
a
a
xf
∑
∞
=
+=
Поскольку на отрезке
[
]
π
,0 имеет место равенство f
1
(x) = f(x), то ряд Фурье для
функции f
1
(x) будет и рядом Фурье для f(x) на
[
]
π
,0
Рисунок 4
2)
Функцию f(x), заданную на
[]
π
,0 , продолжим на отрезок
[
]
0,
π
−
нечётным обра-
зом (рис.4):
[[
[
]
⎩
⎨
⎧
∈
−∈−−
=
,,0),(
.0,),(
)(
2
π
еслиxxf
еслиxxf
xf
Поскольку f
2
(x) – нечётная на
[]
π
π
,−
функция, то её ряд Фурье содержит только
синусы:
).sin(
1
)(
2
nx
n
n
bxf
∑
∞
=
=
Так как f
2
(x)= f(x) при
[
]
,,0
∈
∀
x
то полученный ряд Фурье для f
2
(x) и будет рядом
Фурье для f(x) на
[
]
π
,0
.
ПРИМЕР. Функцию f(x)=x, определённую на отрезке
[
]
π
,0
, разложить в ряд
Фурье: 1)по косинусам; 2)по синусам.
∆ 1) Функцию f(x) продолжим на
[
]
0,
π
−
чётным образом (рис.5) – соста-
вим новую функцию f
1
(x) по формуле 
                                                35




Поскольку f1(x) – чётная на [− π , π ] функция, то её ряд Фурье содержит только ко-
синусы:
                                    a    ∞
                            f1( x) = 0 + ∑ an cos(nx).
                                     2 n =1

Поскольку на отрезке [0, π ] имеет место равенство f1(x) = f(x), то ряд Фурье для
функции f1(x) будет и рядом Фурье для f(x) на [0, π ]




                                       Рисунок 4
2) Функцию f(x), заданную на [0, π ] , продолжим на отрезок [− π ,0] нечётным обра-
зом (рис.4):
                                        f ( x), еслиx ∈ [0, π ],
                          f 2 ( x) = ⎧⎨
                                      ⎩ − f (− x), еслиx ∈ [− π ,0[.
Поскольку f2(x) – нечётная на [− π , π ] функция, то её ряд Фурье содержит только
синусы:
                                           ∞
                                f 2 ( x) = ∑ bn sin( nx).
                                          n =1
Так как f2(x)= f(x) при ∀x ∈ [0,π ], то полученный ряд Фурье для f2(x) и будет рядом
Фурье для f(x) на [0, π ] .

     ПРИМЕР. Функцию f(x)=x, определённую на отрезке [0, π ] , разложить в ряд
Фурье: 1)по косинусам; 2)по синусам.
     ∆    1) Функцию f(x) продолжим на [− π ,0] чётным образом (рис.5) – соста-
вим новую функцию f1(x) по формуле

Страницы