Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

33
∫
−
==
π
π
π
0)sin()(
1
dxnxxf
n
b (n=1,2,…).
Следовательно, ряд Фурье чётной функции содержит только косинусы, т.е.
)cos(
1
2
)(
0
nx
n
n
a
а
xf
∑
∞
=
+= .
Аналогично, если f(x) – нечётная функция, то f(x)cos(nx) – нечётная, а f(x)sin(nx) –
чётная функция.
Поэтому
∫
−
==
π
π
π
0)cos()(
1
nxxf
n
a (n=0,1,…),
∫∫
−
==
π
π
π
ππ
0
)sin()(
2
)sin()(
1
dxnxxfdxnxxf
n
b (n=1,2,…).
Следовательно, ряд Фурье нечётной функции содержит только синусы, т.е.
)sin(
1
)( nx
n
n
bxf
∑
∞
=
=
.
ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2
π
функцию,
заданную на отрезке
[
]
π
π
,
−
равенством f(x)=⏐х⏐.
Данная функция является чётной (рис.2), поэтому её ряд Фурье содержит
только косинусы. Вычисляем коэффициенты этого ряда:
π
π
π
π
π
π
π
=⋅=
∫
=
∫
=
0
2
2
2
0
2
0
2
0
x
хdxdxxa
.
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
=+=−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=−==
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
−=
⎭
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
∫
==
∫
=
,...,2,1,2,0
,...1,0,12,
2
4
1)1(
2
2
1)cos(
2
2
0
)cos(
2
2
0
sin
1
0
)sin(2
)sin(
1
)cos(
0
)cos(
2
)cos(
0
2
kkеслиn
kkеслиn
n
n
n
n
n
nx
n
nxdx
nn
nxx
nx
n
v
dxdu
dvdxnx
xu
dxnxxdxnxx
n
a
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
                                                    33



                              1 π
                         bn =    ∫ f ( x) sin( nx)dx = 0     (n=1,2,…).
                              π −π


Следовательно, ряд Фурье чётной функции содержит только косинусы, т.е.

                                             а0   ∞
                                  f ( x) =      + ∑ an cos(nx) .
                                             2 n =1

Аналогично, если f(x) – нечётная функция, то f(x)cos(nx) – нечётная, а f(x)sin(nx) –
чётная функция.
Поэтому

                     1 π
              an =      ∫ f ( x) cos(nx) = 0       (n=0,1,…),
                     π −π

                   1 π                    2π
              bn =    ∫ f ( x) sin(nx)dx = ∫ f ( x) sin(nx)dx           (n=1,2,…).
                   π −π                   π0

Следовательно, ряд Фурье нечётной функции содержит только синусы, т.е.
                        ∞
               f ( x) = ∑ bn sin(nx) .
                       n =1
     ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2 π функцию,
заданную на отрезке [− π , π ] равенством f(x)=⏐х⏐.
     Данная функция является чётной (рис.2), поэтому её ряд Фурье содержит
только косинусы. Вычисляем коэффициенты этого ряда:
                                 π
           2π       2π      2 x2
       a0 = ∫ x dx = ∫ хdx = ⋅     =π .
           π 0      π 0     π 2
                                 0
                                       ⎧                   1                            π 1π
     2π                2π              ⎪cos(nx)dx = dv v = n sin(nx) ⎫ 2 ⎛⎜ xsin(nx)                ⎞
                                                                                                    ⎟=
an = ∫ x cos(nx)dx = ∫ x cos(nx)dx =⎨u = x                             =
                                                                     ⎬ ⎜                  − ∫ sinnxdx
     π0               π0                               du = dx       ⎭ π ⎝ n 0 n0                   ⎟
                                       ⎪                                                            ⎠
                                       ⎩
                                                     ⎧
   2         π     2                  2 ⎛ n ⎞ ⎪0, еслиn= 2k, k =1,2,...,
=     cos(nx) 0 =     (cos(nπ ) −1) = 2 ⎜(−1) −1⎟ = ⎨ 4
  πn2             πn2                πn ⎝         ⎠ ⎪−        , еслиn= 2k +1, k = 0,1,...
                                                     ⎩ πn2

Страницы