Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

31
Из формул (4), (5) или же (6) вытекает, что для любой интегрируемой на
[]
π
π
,−
2
π
- периодической функции можно вычислить её Фурье коэффициенты. Следо-
вательно, для такой функции можно составить ряд Фурье
()
()
∑
∞
=
++
1
)sin()cos(
2
~
0
n
nx
n
bnx
n
a
a
xf
.
Такая запись означает, что функция
(
)
xf только формально записана в виде
ряда Фурье; остаётся неясным, будет ли сумма этого ряда равна функции
()
xf
.
Вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция
(
)
xf
, чтобы её ряд Фурье
сходился к
()
xf ?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f(x) называется кусочно-гладкой на отрезке
[a,b] если функция f(x) и её производная на [a,b] имеют конечное число точек раз-
рыва первого рода.
Без доказательства приведём теорему, которая даёт достаточные условия
разложимости функции в ряд Фурье.
ТЕОРЕМА (Дирихле). Если f(x) – периодическая с периодом 2
π
кусочно-
гладкая на
[]
π
π
;−
функция, то её ряд Фурье сходится в любой точке этого отрезка и его сум-
ма равна:
1)
функция f(x), когда x – точка непрерывности функции f(x);
2)
()
2
)0(0 ++− xfxf
, когда x – точка разрыва функции f(x)
()
∑
∞
=
++=
++−
1
)sin()cos(
2
0
2
)0()0(
n
nx
n
bnx
n
a
a
xfxf
.
Отметим, что на практике чаще всего имеем дело с функциями, которые
удовлетворяют условиям теоремы Дирихле.
ПРИМЕР. Периодическую с периодом
π
2 функцию
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<−−
<<
=
,0,
2
1
0,1
xпри
xпри
xf
π
π
разложить в ряд Фурье.
∆ Вычислим коэффициенты Фурье: 
                                                   31


Из формул (4), (5) или же (6) вытекает, что для любой интегрируемой на [− π , π ]
2 π - периодической функции можно вычислить её Фурье коэффициенты. Следо-
вательно, для такой функции можно составить ряд Фурье
                                           ∞
                           f (x ) ~
                                      a0
                                              (
                                         + ∑ an cos(nx) + bn sin(nx) .
                                      2 n =1
                                                                       )
      Такая запись означает, что функция f (x ) только формально записана в виде
ряда Фурье; остаётся неясным, будет ли сумма этого ряда равна функции f (x ) .
Вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f (x ) , чтобы её ряд Фурье
сходился к f (x ) ?
       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f(x) называется кусочно-гладкой на отрезке
[a,b] если функция f(x) и её производная на [a,b] имеют конечное число точек раз-
рыва первого рода.
     Без доказательства приведём теорему, которая даёт достаточные условия
разложимости функции в ряд Фурье.
      ТЕОРЕМА (Дирихле). Если f(x) – периодическая с периодом 2 π кусочно-
гладкая на
[− π ;π ] функция, то её ряд Фурье сходится в любой точке этого отрезка и его сум-
ма равна:
1) функция f(x), когда x – точка непрерывности функции f(x);
     f ( x − 0 ) + f ( x + 0)
2)                            , когда x – точка разрыва функции f(x)
                 2

                             ∞
f ( x − 0) + f ( x + 0) a0
           2
                       =               (
                           + ∑ an cos(nx) + bn sin(nx) .
                         2 n =1
                                                              )
     Отметим, что на практике чаще всего имеем дело с функциями, которые
удовлетворяют условиям теоремы Дирихле.
       ПРИМЕР. Периодическую с периодом 2π функцию

                                           ⎧ 1
                                           ⎪ − 2 , при − π < x < 0,
                                 f ( x ) = ⎨1, при  0< x <π
                                           ⎪
                                           ⎩
разложить в ряд Фурье.
       ∆      Вычислим коэффициенты Фурье:

Страницы