Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 29 стр.

                                                     29


               π             a0 π        ∞ ⎛     π                   π               ⎞
               ∫ f ( x )dx =     ∫ dx +  ∑   ⎜ a
                                             ⎜ n ∫ cos( nx ) dx + bn  ∫ sin( nx ) dx ⎟.
                                                                                     ⎟
              −π             2  −π      n = 1⎝ − π                   −π              ⎠
Из равенств (2) (см. пример в 1.2) следует, что все интегралы, встречающиеся в
правой части под знаком суммы равны нулю, поэтому
                                       π
                                       ∫ f ( x)dx = π a0 .
                                      −π

Следовательно,

                                             1 π
                                      a0 =      ∫ f ( x )dx .                                   (3)
                                             π −π

Для того чтобы найти a n (n = 1,2,...), обе части равенства (2) умножим на cos(mx) и
проинтегрируем на отрезке [− π , π ] :
Поскольку система тригонометрических функций, как мы убедились ранее, явля-
ется ортогональной, то
               π                                 π
                ∫ cos(mx) cos(nx)dx = 0,         ∫ cos(mx) sin(nx)dx = 0
               −π                               −π
для ∀m, n ∈ Ν, если m ≠ n.
Это означает что все с интегралы, встречающиеся в правой части, будут равны
нулю; исключение составляет интеграл, который получается при m = n. Этот ин-
теграл равен π .
         Поэтому
                         π                           π
                                                       2
                         ∫ f ( x ) cos(nx)dx = an ∫ cos (nx)dx = πan ,
                        −π                       −π
откуда

           1 π
    an =      ∫ f ( x ) cos(nx)dx,   n =1,2,…                                             (4)
           π −π

      Аналогично, умножив обе части равенства (2) на sin(mx) и проинтегрировав
на отрезке [− π ;π ] , получаем, что