Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

28
Следовательно,
{
∫
−
≠
=
=
π
π
π
;,0
.,
)cos()cos(
nm
nm
dxnxmx (4)
Аналогичным образом устанавливаем, что
{
∫
−
≠
=
=
π
π
π
;,0
,
)sin()sin(
nm
nm
dxnxmx (5)
Остаётся вычислить интеграл
∫
−
π
π
.)sin()cos( dxnxmx
Поскольку подынтегральная функция является нечётной, то
∫
−
=
π
π
,0)sin()cos( dxnxmx (6)
Из равенств (2)-(6) следует, что любые две различные функции из последователь-
ности (1) ортогональны на отрезке
[]
π
π
,− .
10. РЯД ФУРЬЕ И ЕГО КОЭФФИЦИЕНТЫ.
Члены тригонометрического ряда
()
∑
∞
=
++
1
)sin()cos(
2
0
n
nx
n
bnx
n
a
а
(1)
являются периодическими функциями с общим периодом 2
π
, поэтому и сумма
этого ряда S (x) также будет 2π – периодическая функция.
Возникает вопрос: любую ли периодическую с периодом 2π функции мож-
но представить в виде тригонометрического ряда (1)? Ответ на этот вопрос дадим
позднее.
Теперь же допустим, что 2π – периодическую функцию f (x) можно разло-
жить в тригонометрический ряд (1) , равномерно сходящийся на отрезке
()
()
∑
∞
=
++=
1
)sin()cos(
2
0
n
nx
n
bnx
n
a
a
xf
(2)
Рассмотрим вопрос об определении коэффициентов
0
a ,
n
a и
n
b
()
,...2,1=n . Для это-
го применим теорему о почленном интегрировании функционального ряда. Про-
интегрируем обе части равенства (2) в пределах от -π до π : 
                                                  28


                  π
Следовательно, ∫ cos(mx) cos(nx )dx = π0,,m   {
                                            ≠ n;
                                          m = n.                                   (4)
              −π

Аналогичным образом устанавливаем, что
                                                           π
                                                                               {0, m ≠ n;
                                                        ∫ sin( mx) sin( nx)dx = π , m = n (5)
                                                       −π
                                          π
Остаётся вычислить интеграл                ∫ cos(mx) sin( nx)dx.
                                          −π
Поскольку подынтегральная функция является нечётной, то
             π
             ∫ cos(mx) sin( nx)dx = 0,                                          (6)
            −π
Из равенств (2)-(6) следует, что любые две различные функции из последователь-
ности (1) ортогональны на отрезке [− π , π ] .
                      10. РЯД ФУРЬЕ И ЕГО КОЭФФИЦИЕНТЫ.
      Члены тригонометрического ряда
                       ∞
                  а0
                               (
                     + ∑ an cos(nx) + bn sin( nx)
                  2 n =1
                                                       )                                  (1)


являются периодическими функциями с общим периодом 2 π , поэтому и сумма
этого ряда S (x) также будет 2π – периодическая функция.
      Возникает вопрос: любую ли периодическую с периодом 2π функции мож-
но представить в виде тригонометрического ряда (1)? Ответ на этот вопрос дадим
позднее.
     Теперь же допустим, что 2π – периодическую функцию f (x) можно разло-
жить в тригонометрический ряд (1) , равномерно сходящийся на отрезке
                                 ∞
                 f (x ) =
                            a0
                                    (
                               + ∑ an cos(nx) + bn sin(nx)
                            2 n =1
                                                               )                          (2)


Рассмотрим вопрос об определении коэффициентов a 0 , a n и bn (n = 1,2,...) . Для это-
го применим теорему о почленном интегрировании функционального ряда. Про-
интегрируем обе части равенства (2) в пределах от -π до π :

Страницы