Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

26
Вычисляя внутренние интегралы, находим значение определенного интеграла
∫
+
+
=
+
=
∫∫
+
+
=
−
β
α
α
β
β
α
α
β
1
1
lnd)
1
1
(
1
0
d)
1
0
1
1
(
ln
t
t
t
t
t
x
dx
x
xx
.
Это значение трудно найти обычными приемами интегрирования, поскольку не-
определенный интеграл от
x
xx
ln
α
β
−
не выражается в элементарных функциях.
Пример 3. Интеграл
∫
−=
2
/
0
)
2
sin
2
ln()(
π
dxxttG
(t>0) не вычисляется обычными
приемами. Однако в силу теоремы 2 (ее условие здесь выполнено) имеем
∫
−
=
−
=
∫
−
=
′
2
/
0
1
2
2
sin
2
2
2
/
0
2
sin
2
2
)(
π
π
π
t
xt
dx
t
xt
tdx
tG (здесь первообразная вычисля-
ется c помощью замены переменной tgx=u). Интегрируя по переменной t, можно
восстановить значение интеграла G(t):
∫
+−+=
−
= C)1
2
tπln(tdt
1
2
t
π
G(t) .
Чтобы найти значение С, в равенстве
t
dx
t
x
dxxtC
1
2
tt
πln
2/
0
)
2
2
sin
1ln()1
2
tπln(t
2/
0
)
2
sin
2
(
−+
∫
−−=−+
∫
−−=
ππ
, спра-
ведливом при всех t>1, будем переходить к пределу при t→∞ или при τ=1/t→0.
Заметим, что функция ln(1+τ
2
sin
2
x) определена и непрерывна в прямоугольнике
0≤х≤π/2, 0≤τ≤τ
0
<1, поэтому, в силу теоремы 1, функция
Ф(τ)=
dxx)
/2
0
2
sin
2
ln(1
∫
−
π
τ
непрерывна при 0≤τ≤τ
0
.
Следовательно, 0=Ф(0)=
dxxФ )
/2
0
2
sin
2
ln(1
0
lim)(
0
lim
∫
−
→
=
→
π
τ
τ
τ
τ
с другой стороны,
2ln)
2
1ln(t
0
lim
1
2
tt
lnlim
πτ
τ
ππ
τ
=−+
→
=
−+
∞→
t
. Окончательно с=-πln2 и
2
1
2
tt
ln)(
−+
=
π
tG
.
9. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Пусть даны две функции f(x) и g(x), произведение которых интегрируемо на
отрезке [a,b].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функции f(x) и g(x), называются ортогональными на
[a,b], если 
                                               26


Вычисляя внутренние интегралы, находим значение определенного интеграла
    β α             t +1 1                         1+ β
 1 x − x dx = β ( x            β 1
∫0 ln x      ∫α t + 1 ) d t = ∫α ( t + 1) d t = ln 1 + α .
                         0
Это значение трудно найти обычными приемами интегрирования, поскольку не-
                              x β − xα
определенный интеграл от               не выражается в элементарных функциях.
                                 ln x
                                   π /2
Пример 3. Интеграл G (t ) = ∫ ln(t 2 − sin 2 x)dx (t>0) не вычисляется обычными
                                     0
приемами. Однако в силу теоремы 2 (ее условие здесь выполнено) имеем
         π / 2 2tdx             π /2      dx          π
G ′(t ) = ∫                 = 2t ∫                 =      (здесь первообразная вычисля-
              t 2 − sin 2 x          t 2 − sin 2 x    2
          0                      0                   t −1
ется c помощью замены переменной tgx=u). Интегрируя по переменной t, можно
                                                π
восстановить значение интеграла G(t): G(t) = ∫      dt = πln(t + t 2 − 1) + C .
                                                2
                                               t −1
Чтобы            найти            значение             С,             в           равенстве
    π /2                                    π /2      sin 2 x           t+ t 2 −1
C = ∫ (t 2 − sin 2 x)dx − πln(t + t 2 − 1) = ∫ ln(1 −         )dx − πln           ,    спра-
                                                        t 2                t
     0                                        0
ведливом при всех t>1, будем переходить к пределу при t→∞ или при τ=1/t→0.
Заметим, что функция ln(1+τ2sin2x) определена и непрерывна в прямоугольнике
0≤х≤π/2,     0≤τ≤τ0<1,        поэтому,       в   силу        теоремы       1,       функция
      π/2
Ф(τ)= ∫ ln(1 − τ 2 sin 2 x)dx непрерывна при 0≤τ≤τ0.
       0
                                                 π/2
Следовательно, 0=Ф(0)= lim Ф(τ ) = lim ∫ ln(1 − τ 2 sin 2 x)dx с другой стороны,
                            τ →0         τ →0 0
             t+ t 2 −1
  lim πln              = π lim ln(t + 1 − τ 2 ) = π ln 2 . Окончательно с=-πln2 и
τ →∞            t         τ →0
             t+ t 2 −1
G (t ) = πln           .
                2
                        9. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ФУНКЦИЙ
   Пусть даны две функции f(x) и g(x), произведение которых интегрируемо на
отрезке [a,b].
       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функции f(x) и g(x), называются ортогональными на
[a,b], если

Страницы