Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

25
изводная
x
x
G
∂
∂ )(
и ее можно вычислить, производя дифференцирование под зна-
ком интеграла, т.е.
∫
∂
∂
=
∂
∂
b
a
dy
)f(x,G(x)
x
y
x
.
Аналогично можно для интегралов, зависящих от нескольких параметров, дока-
зать следующую теорему: пусть ,
b
a
dy)f(x,G(x)
∫
= у х=(х
1
, х
2
, …, х
m
) причем функ-
ция f(x,y) и частная производная
k
x
y
∂
∂ )f(x,
непрерывны при у∈[a,b], х∈А, где А –
выпуклое замкнутое ограниченное множество. Тогда на множестве А существует
частная производная
k
x∂
∂
G(x)
и ее можно вычислить, производя дифференцирова-
ние под знаком интеграла, т.е.
∫
∂
∂
=
∂
∂
b
a
dy
)f(x,G(x)
k
x
y
k
x
.
Рассмотрим интегралы вида
∫
=
)(
)(
dy)f(x,)(
x
x
yxG
β
α
. Если функция f(x,y) и частная
производная
k
x
y
f
∂
∂ )(x,
непрерывны при у∈[a,b], х∈А, а функции α(х) и β(х) имеют
частные производные по переменной х
k
, то
k
x
x
xxf
k
x
х
х
х
x
xf
k
x
y
k
x ∂
∂
−
∂
∂
∫
+
∂
∂
=
∂
∂
)(
))(,(
)(
))(
)(
)(
,(dy
)f(x,
G
α
α
β
β
β
α
.
При интегрировании по параметру интеграла, зависящего от параметра, использу-
ется следующая теорема.
Теорема 3. Пусть функция f(x,y) непрерывна при с≤х≤d, a≤y≤b и
,
b
a
dy)f(x,G(x)
∫
= у
тогда при вычислении интеграла
∫
d
с
xG d(x)
можно производить
интегрирование по параметру под знаком интеграла, определяющего функцию
G(x), т.е.
)d)(x,( d(x)
∫∫
=
∫
b
a
d
с
dyxyf
d
с
xG
.
Пример 1. Функция cos(ux) непрерывна в плоскости IR
2
. Следовательно функция
ϕ(u)=
1,(0)0,u,
sin
1
0
dx)cos( =≠=
∫
ϕ
u
u
xu
непрерывна всюду. Значит, 1
u
sinu
0u
lim =
→
,
т.е. мы опять получаем первый замечательный предел.
Пример 2. Пусть f(x,t)=x
t
, x∈[0,1], t∈[α,β] (α≥0, β>0]; можно согласно теореме 3
составить равенство
1
0
d
1
0
)x( )dx(
∫∫∫
=
∫
β
α
β
α
tdx
t
dxt
t
                                             25


         ∂G ( x)
изводная          и ее можно вычислить, производя дифференцирование под зна-
           ∂x
                    ∂ G(x) b ∂ f(x, y)
ком интеграла, т.е.       = ∫a         dy .
                      ∂x        ∂x
Аналогично можно для интегралов, зависящих от нескольких параметров, дока-
зать следующую теорему: пусть G(x) = ∫abf(x, у ) dy, х=(х1, х2, …, хm) причем функ-
                                   ∂ f(x, y)
ция f(x,y) и частная производная             непрерывны при у∈[a,b], х∈А, где А –
                                     ∂x
                                        k
выпуклое замкнутое ограниченное множество. Тогда на множестве А существует
                      ∂ G(x)
частная производная          и ее можно вычислить, производя дифференцирова-
                       ∂x
                          k
                               ∂ G(x) b ∂ f(x, y)
ние под знаком интеграла, т.е.         = ∫a       dy .
                                ∂x           ∂x
                                   k            k

Рассмотрим интегралы вида G ( x) = ∫ β ( x) f(x, y ) dy . Если функция f(x,y) и частная
                                                  α ( x)
                  ∂f (x, y )
производная                  непрерывны при у∈[a,b], х∈А, а функции α(х) и β(х) имеют
                    ∂x
                       k
частные               производные                   по             переменной    х k, то
 ∂G             ∂                            ∂β                       ∂α
     = ∫ β ( х)
                  f(x, y )                      ( х )                    ( x )
                           dy+ f ( x,β ( х))          − f ( x,α ( x))          .
∂x      α ( x) ∂x                             ∂x                       ∂x
   k                 k                           k                        k
При интегрировании по параметру интеграла, зависящего от параметра, использу-
ется следующая теорема.
Теорема 3. Пусть функция f(x,y) непрерывна при с≤х≤d, a≤y≤b и
G(x) = ∫abf(x, у ) dy, тогда при вычислении интеграла ∫сd G (x) d x можно производить
интегрирование по параметру под знаком интеграла, определяющего функцию
G(x), т.е. ∫сd G (x) d x = ∫ab ( ∫сd f (x, y) d x)dy .

Пример 1. Функция cos(ux) непрерывна в плоскости IR2. Следовательно функция
                        sin u                                                  sinu
ϕ(u)= ∫1 cos(u x) d x =       , u ≠ 0,ϕ (0) = 1, непрерывна всюду. Значит, lim      = 1,
       0                  u                                               u→0 u
т.е. мы опять получаем первый замечательный предел.
Пример 2. Пусть f(x,t)=xt, x∈[0,1], t∈[α,β] (α≥0, β>0]; можно согласно теореме 3
составить равенство ∫1 (∫αβ x t d t )dx = ∫αβ ( ∫1 x t dx) d t
                     0                           0

Страницы