Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

27
∫
=
b
a
dxxgxf 0)()(
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функциональная последовательность
{}{ }
),...(),...,(),()(
10
xxxx
nn
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
называется ортогональной на
[]
ba,
, если
() ()
0=
∫
dxx
m
x
b
a
n
ϕϕ
,
.mn ≠∀
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функциональная последовательность
(){}
x
n
ϕ
называет-
ся ортонормированной на
[]
ba, , если
() ()
∫
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
b
a
mnпри
mnпри
dxx
m
x
n
,,0
.,1
ϕϕ
Приведём пример ортогональной последовательности.
ПРИМЕР. Докажем, что последовательность тригонометрических функций
1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),…, cos(nx), sin(nx), … (1)
ортогональна на отрезке
[]
π
π
,− .
С этой целью вычислим интегралы:
∫
−
=
−
−=⋅
π
π
π
π
0
)cos(
)sin(1
n
nx
dxnx , (2)
,0)sin(
1
)cos( =
−
=
∫
−
π
π
π
π
nx
n
dxnx
N
n∈∀ ;
() ()()
() ()
∫
−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
−
=++−
∫
−
=⋅
π
π
π
π
π
π
0
sin)sin(
2
1
)cos()cos(
2
1
)cos()cos(
nm
xnm
nm
xnm
dxxnmxnmdxnxmx
при m ≠ n.
Если же m = n , то
()
∫
−
∫
−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
π
π
π
π
π
π
π
m
mx
xdxmxdxmx
2
)2sin(
2
1
)2cos(1
2
1
)(
2
cos . (3) 
                                                          27


b

∫ f ( x) g ( x)dx = 0
a

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функциональная последовательность
       {ϕ n ( x)} = {ϕ 0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕ n ( x),...}
                                              b
     называется ортогональной на [a, b], если ∫ ϕ ( x )ϕ ( x )dx = 0 , ∀n ≠ m.
                                                 n      m
                                              a
      ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функциональная последовательность {ϕ n ( x )} называет-
ся ортонормированной на [a, b] , если
b
                         ⎧ 0, при n ≠ m,
∫ ϕ n ( x )ϕ m ( x )dx = ⎨1, при n = m.
a                        ⎩

       Приведём пример ортогональной последовательности.
       ПРИМЕР. Докажем, что последовательность тригонометрических функций
       1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),…, cos(nx), sin(nx), …                       (1)
ортогональна на отрезке [− π , π ] .
       С этой целью вычислим интегралы:

                π                         cos(nx) π
                ∫ 1 ⋅ sin(nx)dx = −                 = 0,                                 (2)
               −π                            n −π

 π            1        π
 ∫ cos(nx)dx = sin(nx)     = 0, ∀n ∈ N ;
−π            n        − π

π                                                                                   π
                       1π                                  1 ⎛ sin((m− n)x) sin(m+ n)x ⎞
 ∫    mx
   cos( ) ⋅    nx
            cos( )dx =   ∫ (cos((m− n)x) + cos((m+ n)x))dx= ⎜              +           ⎟ =0
−π                     2−π                                 2 ⎝     m − n       m + n   ⎠ −π

при m ≠ n.
       Если же m = n , то

 π                         π                                   π
      2         1                       1⎛     sin( 2mx) ⎞
 ∫ cos (mx)dx =    ∫ (1 + cos(2mx) )dx = ⎜ x +           ⎟     = π . (3)
−π              2 −π                    2 ⎝       2 m    ⎠ − π

Страницы