Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 24 стр.

                                                  24


                                            n
тов системы (ϕk); частичная сумма ∑ c ϕ ряда Фурье для х дает не менее точ-
                                      k k
                                 k =1
ную аппроксимацию.
                         ∞
Следовательно, ряд ∑ c ϕ сходится к х, и равенство Парсеваля-Стеклова имеет
                       k k
                  k =1
место.
Пример 1. В гильбертовом пространстве L2 [-π;π] функций суммируемых с квад-
ратом модуля на отрезке [-π;π] функции 1, cos t, sin t, sin 2t,… образуют ортого-
нальный базис. Однако эта система функций не является нормированной.
Пример 2. Пусть векторы х и у ортогональны, тогда по аналогии с элементарной
геометрией вектор х+у можно назвать гипотенузой прямоугольного треугольника,
построенного на векторах х и у. Умножая х+у скалярно на себя и используя орто-
гональность           векторов                 х            и            у,         мы    получаем
      2                                                                            2   2
 х + у = ( х + у, х + у ) = ( х, х) + 2( х, у ) + ( у, у ) = ( х, х) + ( у, у ) = х + у .

Мы доказали тем самым в общем гильбертовом пространстве теорему Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Нетрудно обобщить эту тео-
рему на случай любого конечного числа слагаемых. Именно пусть векторы х1, х2,
…, хk взаимно ортогональны и z= х1+ х2+ …+ хk , тогда
                                          2          2
 z 2 = ( x + ... + x , x + ... + x ) = x + ... + x     .
          1         k 1           k     1          k
                 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Интегралы вида G(x) = ∫abf(x, у ) dy, х=(х1, х2, …, хm) называются интегралами, за-
висящими от параметров х1, х2, …, хm.
Теорема 1. Пусть функция f(x,y), х=(х1, х2, …, хm) непрерывна на множестве
a≤y≤b, x∈A, где А – замкнутое ограниченное множество. Тогда интеграл
G(x) = ∫abf(x, у ) dy, является непрерывной функцией на множестве А.

Если m=1, то в качестве множества А в теореме можно взять сегмент [c,d]. Рас-
смотрим теперь, при каких условиях интегралы, зависящие от параметров, можно
дифференцировать по параметрам. Для простоты ограничимся случаем интегра-
лов G(x), которые зависят от одного параметра.

Теорема 2. Пусть G(x) = ∫abf(x, у) dy, причем функция f(x,y) и частная производная
∂f ( x, y )
            непрерывны при у∈[a,b], x∈[c,d]. Тогда на сегменте [c,d] существует про-
   ∂x