Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 22 стр.

                                              22


                               m             n
Следствие. Если m>n, то   x − ∑ c ϕ ≤ x − ∑ c ϕ . Действительно, по
                                    k k         k k
                              k =1         k =1
              2 = x2− m
формуле (2) d m
                             2     2      n      2  2
                      ∑ ck ϕ k ≤ x 2 − ∑ c k ϕ k = d m2.
                     k =1               k =1
Осталось воспользоваться формулой (1).
Итак, наилучшее приближение элемента х посредством элементов из Ln есть мно-
                          n
гочлен Фурье элемента х: ∑ c ϕ .
                             k k
                        k =1

Так как d 2 ≥ 0 , то из формулы (2) следует
         n
                n  2   2    2
               ∑ ck ϕ k ≤ x                                      (3)
              k =1
                                             ∞     2     2
Слева стоит частичная сумма числового ряда ∑ c       ϕ     с неотрицательными
                                                 k     k
                                            k =1
членами, причем оценка (3) верна для любого n.
Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последо-
вательность его частичных сумм ограничена. Следовательно, из (3) вытекает схо-
                 ∞    2    2                              ∞       2    2     2
димость ряда     ∑ c k ϕ k и неравенство для его суммы ∑ c k ϕ k ≤ x .
               k =1                                      k =1
(4)
Это неравенство называется неравенством Бесселя. Его справедливость доказана
для любой ортогональной системы в любом бесконечном пространстве со скаляр-
ным произведением.

Следствие. Если ϕ     ≥ α 〉 0, k = 1,2,..., то коэффициенты Фурье ск любого элемен-
                    k
та х∈Е стремятся к нулю при k→∞.




                   7. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ - СТЕКЛОВА