Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

20
2
2
2
h
h
е =
. Векторы е
1
, е
2
порождают то же подпространство двух измерений Е
2
,
что и векторы g
1
, g
2
.
Переходим к построениию вектора е
3
. Сначала из вектора g
3
вычтем его проекцию
на Е
2
; получаем вектор h
3
=g
3
– ( g
3
,е
1
) е
1
– ( g
3
,е
2
) е
2
, отличный от нуля и ортого-
нальный подпространству Е
2
, т.е. ортогональный векторам е
1
, е
2
. Затем полагаем
3
h
3
h
3
е =
. Подобным образом поступаем и далеее. Если уже построены векторы
е
1
, е
2
,…,е
n
, то полагаем
∑
=
+
−
+
=
+
n
k
k
e
k
e
n
g
n
g
n
h
1
),
1
(
11
, и затем
1n
h
1n
h
1n
е
+
+
=
+
.
Описанный прием носит название ортогонализации.
При решении многих вопросов относительно многообразия, порождаемого неко-
торой последовательностью векторов, предварительная ортогонализация этой по-
следовательности может оказаться очень полезной.
6. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ
Пусть в бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением дана ор-
тогональная система (ϕ
k
), т.е. ϕ
k
≠ 0, k=1,2,…; (ϕ
k
, ϕ
l
)=0 при l ≠ k. Ряд вида
∑
∞
=1
k
kk
ϕα
называется рядом по ортогональной системе (ϕ
k
). Пусть х∈Е. Числа
2
),(
κ
ϕ
ϕ
χ
κ
к
С =
коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе (ϕ
k
), а
ряд
∑
∞
=1k
kk
с
ϕ
называется рядом Фурье (по ортогональной системе (ϕ
k
)), состав-
ленным для элемента х (ряд элемента х). Многочлен
∑
=
n
k
kk
с
1
ϕ
- частичная сумма
ряда Фурье – называется многочленом Фурье (элемента х).
Возьмем теперь первые n векторов ортогональной системы (ϕ
k
): ϕ
1
, ϕ
2
,…, ϕ
n
. Об-
разуем всевозможные их линейные комбинации вида
∑
∞
=
=
1k
kkn
u
ϕα
. В ре-
зультате мы получаем n-мерное подпространство L
n
в Е. Иногда говорят, что L
n
натянуто на ϕ
1
, ϕ
2
,…, ϕ
n
, или что L
n
является линейной оболочкой на ϕ
1
, ϕ
2
,…, ϕ
n
. 
                                          20


      h
е = 2 . Векторы е1, е2 порождают то же подпространство двух измерений Е2,
 2 h
        2
что и векторы g1, g2.
Переходим к построениию вектора е3. Сначала из вектора g3 вычтем его проекцию
на Е2; получаем вектор h3=g3 – ( g3,е1) е1– ( g3,е2) е2, отличный от нуля и ортого-
нальный подпространству Е2, т.е. ортогональный векторам е1, е2. Затем полагаем
       h
е = 3 . Подобным образом поступаем и далеее. Если уже построены векторы
 3 h
         3
                                          n                                h
е1, е2,…,еn, то полагаем h     =g      − ∑ (g       , e )e , и затем е    = n+ 1 .
                          n +1    n +1         n +1 k k                n+1 h
                                        k =1                                 n+ 1
Описанный прием носит название ортогонализации.
При решении многих вопросов относительно многообразия, порождаемого неко-
торой последовательностью векторов, предварительная ортогонализация этой по-
следовательности может оказаться очень полезной.


             6. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ
Пусть в бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением дана ор-
тогональная система (ϕk), т.е. ϕk ≠ 0, k=1,2,…; (ϕk, ϕl)=0 при l ≠ k. Ряд вида
 ∞
 ∑ α k ϕ k называется рядом по ортогональной системе (ϕk). Пусть х∈Е. Числа
k =1
     ( χ ,ϕ к )
Сκ =            коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе (ϕk), а
            2
        ϕκ
       ∞
ряд    ∑ сk ϕ k называется рядом Фурье (по ортогональной системе (ϕk)), состав-
      k =1
                                                       n
ленным для элемента х (ряд элемента х). Многочлен ∑ с ϕ - частичная сумма
                                                       k k
                                                 k =1
ряда Фурье – называется многочленом Фурье (элемента х).
Возьмем теперь первые n векторов ортогональной системы (ϕk): ϕ1, ϕ2,…, ϕn. Об-
                                                                    ∞
разуем всевозможные их линейные комбинации вида u              =    ∑ α ϕ . В ре-
                                                           n       k =1 k k
зультате мы получаем n-мерное подпространство Ln в Е. Иногда говорят, что Ln
натянуто на ϕ1, ϕ2,…, ϕn, или что Ln является линейной оболочкой на ϕ1, ϕ2,…, ϕn.

Страницы