Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

19
Система элементов х
1
, х
2
, …∈Н называется линейно независимой, если при лю-
бом натуральном n система х
1
, х
2
, … х
n
линейно независима.
Пусть L – линейное многообразие в Н. Совокупность всех элементов из Н, орто-
гональных к L, называется ортогональным дополнением к L и обозначается L
⊥
.
Теорема. L
⊥
- подпространство в Н.
Доказательство. Докажем линейность L
⊥
. Пусть, z
2
∈L
⊥
, т.е. (z
1
,y)=0, (z
2
,y)=0 для
любых у∈L. Тогда для любых скаляров λ
1
и λ
2
(λ
1
,z
1
+λ
2
z
2
,у)= λ
1
(z
1
,у)+ λ
2
(z
2
,у)=0
для любых у∈L, т.е. λ
1
,z
1
+λ
2
z
2
∈L
⊥
.
Докажем замкнутость L
⊥
. Пусть дана (z
n
) ⊂ L
⊥
и z
n
→z, при n→∞. Для любых у∈L
имеем (z
n
,y)=0. Перейдем в этом равенстве к пределу при n→∞ по свойству не-
прерывности скалярного произведения, получим (z, y) = 0 для любого у∈L, т.е.
z∈L
⊥
. Теорема доказана.
Расстояние от точки х до подпространства L определяется формулой
ux
Lu
Lх
−
∈
=
inf),(
ρ
.
Существует единственный элемент у∈L, реализующий расстояние от точки х до
подпространства L:
уxLх −=),(
ρ
.
Если
),( Lхуx
ρ
=−
, то х-у ⊥ L. Для любого х∈Н справедливо разложение х=у+z,
z∈L, причем это разложение единственное.
Пусть дана конечная или бесконечная последовательность линейно независиых
векторов
g
1
, g
2
,…,g
n
,…, (1)
Покажем как построить ортонормированную последовательность векторов
е
1
, е
2
, …, е
n
, … (2)
эквивалентную последовательности (1).В качестве первого вектора примем век-
тор
1
1
1
g
g
е =
, норма которого, очевидно, равна единице. Векторы е
1
и g
1
порож-
дают одно и то же подпространство Е
1
, одного измерения. Вектор g
2
мы построим
в два приема. Сначала из вектора g
2
вычтем его проекцию на Е
1
, получим вектор
h
2
=g
2
–(g
2
,е
1
)е
1
, который ортогонален подпространству Е
1
, т.е. вектору е
1
, и кото-
рый не равен нулю, т.к. в противном случае вектор g
2
принадлежал бы Е
1
, что
противоречит линейной незавивисимости векторов (1). Найдя h
2
, положим 
                                         19


Система элементов х1, х2, …∈Н называется линейно независимой, если при лю-
бом натуральном n система х1, х2, … хn линейно независима.
Пусть L – линейное многообразие в Н. Совокупность всех элементов из Н, орто-
гональных к L, называется ортогональным дополнением к L и обозначается L⊥.
Теорема. L⊥ - подпространство в Н.
Доказательство. Докажем линейность L⊥ . Пусть, z2∈L⊥, т.е. (z1,y)=0, (z2,y)=0 для
любых у∈L. Тогда для любых скаляров λ1 и λ2 (λ1,z1+λ2z2,у)= λ1(z1,у)+ λ2(z2,у)=0
для любых у∈L, т.е. λ1,z1+λ2z2 ∈L⊥.
Докажем замкнутость L⊥. Пусть дана (zn) ⊂ L⊥ и zn→z, при n→∞. Для любых у∈L
имеем (zn,y)=0. Перейдем в этом равенстве к пределу при n→∞ по свойству не-
прерывности скалярного произведения, получим (z, y) = 0 для любого у∈L, т.е.
z∈L⊥. Теорема доказана.
        Расстояние от точки х до подпространства L определяется формулой
                                ρ ( х, L) = inf x − u .
                                           u∈L
Существует единственный элемент у∈L, реализующий расстояние от точки х до
подпространства L:
ρ ( х, L ) = x − у .

Если x − у = ρ ( х, L) , то х-у ⊥ L. Для любого х∈Н справедливо разложение х=у+z,
z∈L, причем это разложение единственное.
Пусть дана конечная или бесконечная последовательность линейно независиых
векторов
                       g1, g2,…,gn,…,                               (1)
Покажем как построить ортонормированную последовательность векторов
                  е1, е2, …, еn, …                                   (2)
 эквивалентную последовательности (1).В качестве первого вектора примем век-
          g
тор е = 1 , норма которого, очевидно, равна единице. Векторы е1 и g1 порож-
     1 g
           1
дают одно и то же подпространство Е1, одного измерения. Вектор g2 мы построим
в два приема. Сначала из вектора g2 вычтем его проекцию на Е1, получим вектор
h2=g2–(g2,е1)е1, который ортогонален подпространству Е1, т.е. вектору е1, и кото-
рый не равен нулю, т.к. в противном случае вектор g2 принадлежал бы Е1, что
противоречит линейной незавивисимости векторов (1). Найдя h2, положим

Страницы