Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

17
а)
n
n
х
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
+++= ;
б)
!
1
...
!2
1
!
1
ni
n
х +++=
.
30. Является ли фундаментальной последовательность у
n
(x)=x
n
пространства С([-
1/2;1/2])?
31. Докажите, что если ряд
∑
∞
=
+
1
)
1
,(
n
n
x
n
x
ρ
сходится, то (х
n
) – фундаментальная
последовательность.
32. Является ли фундаментальной последовательность функций
22
1
)(
xn
x
x
n
f
+
=
пространства С([0;1])?
33. Студент, проверив, что некоторая последовательность пространства М не име-
ет предела, заключил, что в таком случае эта последовательность не является и
фундаментальной. Верно ли такое заключение?
34. Докажите, что замкнутое подпространство полного метрического пространст-
ва полно.
35. Докажите, что в полном метрическом пространстве М всякая последователь-
ность непустых
замкнутых вложенных (S
1
⊃S
2
⊃…⊃S
n
⊃…) стягивающихся (по-
следовательность радиусов (r
n
) стремится к нулю) шаров имеет непустое пересе-
чение.
36. Докажите, что пересечение шаров, указанных в задаче 35 состоит только из
одной точки.
37. Докажите, что в банаховом пространстве любая последовательность вложен-
ных замкнутых шаров S
1
⊃S
2
⊃… имеет непустое пересечение.
38. Докажите, что в банаховом пространстве Е абсолютно сходящийся ряд схо-
дится и
∑
∞
=
≤
∑
∞
= 11 n
n
х
n
n
х
.
5. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Полное линейное нормированное пространство называется банаховым. Приведем
некоторые примеры банаховых пространств.
1. Пространство IR банахово. Действительно, на вещественной числовой оси име-
ет место критерий Коши: для того чтобы последовательность (х
n
)⊂IR была схо-
дящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Справед-
                                          17


           1           1
       1 12          1n
а) хn = +    + ... +     ;
       2 2           2
       1 1       1
б) хn = + + ... + .
       i! 2!     n!
30. Является ли фундаментальной последовательность уn(x)=xn пространства С([-
1/2;1/2])?
                              ∞
31. Докажите, что если ряд    ∑ ρ ( xn , xn + 1) сходится, то (хn) – фундаментальная
                             n =1
последовательность.
                                                                          x
32. Является ли фундаментальной последовательность функций f n ( x) =
                                                                      1+ n2 x2
пространства С([0;1])?
33. Студент, проверив, что некоторая последовательность пространства М не име-
ет предела, заключил, что в таком случае эта последовательность не является и
фундаментальной. Верно ли такое заключение?
34. Докажите, что замкнутое подпространство полного метрического пространст-
ва полно.
35. Докажите, что в полном метрическом пространстве М всякая последователь-
ность непустых замкнутых вложенных (S1⊃S2⊃…⊃Sn⊃…) стягивающихся (по-
следовательность радиусов (rn) стремится к нулю) шаров имеет непустое пересе-
чение.
36. Докажите, что пересечение шаров, указанных в задаче 35 состоит только из
одной точки.
37. Докажите, что в банаховом пространстве любая последовательность вложен-
ных замкнутых шаров S1⊃S2⊃… имеет непустое пересечение.
38. Докажите, что в банаховом пространстве Е абсолютно сходящийся ряд схо-
         ∞        ∞
дится и ∑ хn ≤ ∑ хn .
        n =1     n =1
               5. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Полное линейное нормированное пространство называется банаховым. Приведем
некоторые примеры банаховых пространств.
1. Пространство IR банахово. Действительно, на вещественной числовой оси име-
ет место критерий Коши: для того чтобы последовательность (хn)⊂IR была схо-
дящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Справед-

Страницы