Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

16
4. ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА
Последовательность (х
n
) точек метрического пространства называется фундамен-
тальной, если для любого
δ>0 можно указать такой номер N, что для всех n и m,
больших N, выполняется неравенство
ρ(x
n
, x
m
)< δ.
Последовательность (х
n
) точек метрического пространства называется сходящей-
ся, если существует такая точка Х этого пространства, что
∞→n
li
m
ρ(x
n
, x)=0. В
этом случае пишут
n
x
n
x
∞→
=
lim
или х
n
→х и говорят, что х – предел последова-
тельности точек (х
n
) или (х
n
) сходится к х.
Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последователь-
ность сходится, неазывается полным. Полное нормированное линейное простран-
ство называется банаховым пространством.
Примеры
26. Доказать, что всякая сходящаяся последовательность является фундаменталь-
ной.
Доказательство. Пусть (х
n
) – сходящаяся последовательность точек произволь-
ного метрического пространства,
а
n
x
n
=
∞→
lim
и пусть δ>0. Найдется такое N, что
для всех n>N выполняется неравенство ρ(x
n
, а)< δ/2. А тогда по аксиоме треуголь-
ника для любых для любых n>N и m>N ρ(x
n
, x
m
)≤ ρ(x
n
, а)+ ρ(x
m
, а) < δ/2+δ/2=δ,
ч.т.д.
27. Докажите, что если подмножество А метрического пространства М, рассмат-
риваемое как самостоятельное метрическое пространство (с метрикой, заимство-
ванной из М), является полным пространством, то А – замкнутое множество.
Доказательство. Рассмотрим произвольную сходящуюся в метрическом про-
странстве М последовательность (х
n
) точек из множества А. чтобы убедиться, что
А – замкнутое пространство, достаточно показать, что ее предел х ∈ А.
Так как (х
n
) сходится в пространстве М, то последовательность (х
n
) является в
метрике этого пространства фундаментальной. Но в М и А метрика одинаковая,
поэтому (х
n
) фундаментальная и в А. Так как А – полное пространство, то х
n
→у∈
А. Итак, х
n
→х∈ М и х
n
→у∈ А по одной и той же метрике. В силу единственно-
сти предела в метрическом пространстве М отсюда следует, что х=у и, следова-
тельно, х действительно принадлежит А.
Упражнения
28. Докажите, что любая фундаментальная последовательность ограничена.
29. Докажите, что следующие последовательности точек числовой прямой IR
фундаментальны: 
                                         16


                        4. ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА
Последовательность (хn) точек метрического пространства называется фундамен-
тальной, если для любого δ>0 можно указать такой номер N, что для всех n и m,
больших N, выполняется неравенство ρ(xn, xm)< δ.
Последовательность (хn) точек метрического пространства называется сходящей-
ся, если существует такая точка Х этого пространства, что lim ρ(xn, x)=0. В
                                                           n→∞
этом случае пишут x = lim xn или хn →х и говорят, что х – предел последова-
                        n→∞
тельности точек (хn) или (хn) сходится к х.
Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последователь-
ность сходится, неазывается полным. Полное нормированное линейное простран-
ство называется банаховым пространством.
Примеры

26. Доказать, что всякая сходящаяся последовательность является фундаменталь-
ной.
Доказательство. Пусть (хn) – сходящаяся последовательность точек произволь-
ного метрического пространства, lim xn = а и пусть δ>0. Найдется такое N, что
                               n→∞
для всех n>N выполняется неравенство ρ(xn, а)< δ/2. А тогда по аксиоме треуголь-
ника для любых для любых n>N и m>N ρ(xn, xm)≤ ρ(xn, а)+ ρ(xm, а) < δ/2+δ/2=δ,
ч.т.д.
27. Докажите, что если подмножество А метрического пространства М, рассмат-
риваемое как самостоятельное метрическое пространство (с метрикой, заимство-
ванной из М), является полным пространством, то А – замкнутое множество.
Доказательство. Рассмотрим произвольную сходящуюся в метрическом про-
странстве М последовательность (хn) точек из множества А. чтобы убедиться, что
А – замкнутое пространство, достаточно показать, что ее предел х ∈ А.
Так как (хn) сходится в пространстве М, то последовательность (хn) является в
метрике этого пространства фундаментальной. Но в М и А метрика одинаковая,
поэтому (хn) фундаментальная и в А. Так как А – полное пространство, то хn →у∈
А. Итак, хn →х∈ М и хn →у∈ А по одной и той же метрике. В силу единственно-
сти предела в метрическом пространстве М отсюда следует, что х=у и, следова-
тельно, х действительно принадлежит А.
Упражнения

28. Докажите, что любая фундаментальная последовательность ограничена.
29. Докажите, что следующие последовательности точек числовой прямой IR
фундаментальны:

Страницы