Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 14 стр.

                                                    14


Хорошо известным способом введения нормы в линейном пространстве является
задание в нем скалярного произведения.
Скалярным произведением в действительном линейном пространстве Е называет-
ся действительная функция (х,у), определенная для каждой пары элементов х,у ∈
Е и удовлетворяющая следующим условиям:
1) (х,у)=(у,х);
2) (х1+х2,у)=( х1,у)+ (х2,у);
3) (λх,у)=λ(у,х);
4) (х,х)≥0, причем (х,х)=0 только при х=0.
Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением назы-
вается евклидовым пространством. В евклидовом пространстве Е вводится норма
с помощью формулы х = ( х, х) . Из свойств 1)-4) следует, что все аксиомы нор-
мы при этом выполнены.
Действительно, нетривиальной является лишь проверка неравенства треугольни-
ка, которое следует из неравенства Коши-Буняковского ( х, у ) ≤ х ⋅ у ,
(1)
 которое в свою очередь, можно получить следующим образом. Рассмотрим квад-
ратный трехчлен от действительной переменной λ, неотрицательный при всех
значениях λ:

ϕ (λ ) = (λх + у, λх + у) = λ2 ( х, х) + 2λ ( х, у) + ( у, у) = х 2 λ2 + 2( х, у)λ + у 2

Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого векто-
ра, то всегда ϕ(λ)≥0. Следовательно, дискриминант этого трехчлена меньше или
равен нулю. Неравенство Коши-Буняковского (1) как раз и выражает не что иное,
как неположительность дискриминанта этого квадратного трехчлена ϕ(λ).
Отметим, что в евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скаляр-
ное произведение непрерывны в смысле сходимости по норме.
Если (х,у)=0, то векторы х и у называются ортогональными.
Примеры
21. n-мерное арифметическое пространство Rn, элементами которого служат сис-
темы действительных чисел х=(х1,…, хn), с обычными операциями сложения и
умножения и скалярным произведением
                                n
                    ( х, у ) = ∑ хi yi                                        (2)
                              i =1