Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

12
20. Убедитесь, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т.е норма
определяется корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом
из перечисленных ниже пространств?
а) Пространство Е
m
столбцов х=
))(,(
1
(х C
k
xR
k
x
к
m
k
∈∈
=
)
c нормой
2
1
)
2
1
(
∑
=
=
m
k
k
хх .
б) пространство С
m
столбцов х=
))(,(
1
(х C
k
xR
k
x
к
m
k
∈∈
=
)
c нормой
k
х
m
k
х
≤≤
=
1
max
.
в) пространство l
m
столбцов х=
))(,(
1
(х C
k
xR
k
x
к
m
k
∈∈
=
)
c нормой
)
1
(
∑
=
=
m
k
k
хх .
г) пространство
)1( 〉p
m
p
l
столбцов х=
))(,(
1
(х C
k
xR
k
x
к
m
k
∈∈
=
)
c нормой
P
P
m
k
k
хх
1
)
1
(
∑
=
=
.
д) пространство l
1
последовательностей х=(x
1
,x
2
,x
3
,…) (x
k
∈R, x
k
∈C), удовлетво-
ряющих условию
〈∞
∑
∞
=1k
k
х
, с нормой
∑
∞
=
=
1k
k
хх
.
е) пространство l
2
последовательностей х=(x
1
,x
2
,x
3
,…) (x
k
∈R, x
k
∈C),
удовлетворяющих условию
〈∞
∑
∞
=
2
1k
k
х
, с нормой
∑
∞
=
=
1
2
1
)
2
(
k
k
хх
.
ж) пространство
)1( 〉p
p
l последовательностей х=(x
1
,x
2
,x
3
,…) (x
k
∈R, x
k
∈C),
удовлетворяющих условию
〈∞
∑
∞
=
Р
k
k
х
1
, с нормой
∑
∞
=
=
1
1
)(
k
Р
Р
k
хх
.
з) пространство m ограниченных последовательностей х=(x
1
,x
2
,x
3
,…) (x
k
∈R, x
k
∈C) с нормой
k
x
k
х sup=
. 
                                             12


20. Убедитесь, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т.е норма
определяется корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом
из перечисленных ниже пространств?

а)     Пространство   Еm    столбцов    х= (х ) m  ( x ∈ R, ( x ∈ C ))    c   нормой
                                             k к =1 k          k

       m     2 1
 х = ( ∑ х )2 .
           k
      k =1

б)     пространство   Сm    столбцов    х= (х ) m  ( x ∈ R, ( x ∈ C ))    c   нормой
                                             k к =1 k          k
 х =     max х .
       1≤ k ≤ m k

в)     пространство   lm   столбцов    х=   (х ) m  ( x ∈ R, ( x ∈ C ))   c   нормой
                                              k к =1 k          k
       m
 х = ( ∑ х ).
           k
      k =1

г) пространство l m                          m
                  p ( p〉1) столбцов х= (х k ) к = 1( xk ∈ R, ( xk ∈ C )) c нормой

      m     P 1
 х =( ∑ х    )P .
          k
     k =1
д) пространство l1 последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ∈R, xk ∈C), удовлетво-
                   ∞                       ∞
ряющих условию ∑ х 〈∞ , с нормой х = ∑ х .
                       k                         k
                  k =1                    k =1
е) пространство l2 последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ∈R, xk ∈C),

                              2                         1
                        ∞                       ∞     2 2
удовлетворяющих условию ∑ х 〈∞ , с нормой х = ( ∑ х ) .
                            k                       k
                       k =1                    k =1

ж) пространство l p ( p〉1) последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ∈R, xk ∈C),

                              Р                             1
                        ∞                           ∞     Р Р
удовлетворяющих условию ∑ х     〈∞ , с нормой х = ( ∑ х    ) .
                            k                           k
                       k =1                        k =1
з) пространство m ограниченных последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ∈R, xk
∈C) с нормой х = sup x .
                      k
                  k

Страницы