Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

11
P
G
dt
P
ty
P
G
dt
P
tх
P
G
dt
P
tytх
1
))((
1
))((
1
))()((
∫
+
∫
≤
∫
+
.
Таким образом, рассматриваемое линейное пространство оказывается нормиро-
ванным с нормой (6). Оно называется пространством Лебега и обозначается L
P
или L
P
.
18. Пространство l
p
. Будем рассматривать всевозможные последовательности
(x
1
,x
2
,x
3
,…)=х вещественных или комплексных чисел, для которого
1,
1
)
1
( ≥〈+∞
∑
=
p
P
P
n
k
k
х
. Такие последовательности в силу (5) образуют линейное
пространство относительно сложения х+у=( x
1
+у
1
,x
2
+у
2
,x
3
+у
3
,…) и
умножения αх=(αx
1
, αx
2
, αx
3
,…) на скаляры соответственно из поля IR или С.
Положим
P
P
k
k
хх
1
)
1
(
∑
∞
=
= (7).
Выполнение первой и второй аксиомы нормы непосредственно следует из опре-
деления, а третьей – из неравенства Минковского для сумм.
Упражнения для самостоятельного решения
9. Последовательность x
n
∈Е (n∈N) называют сходящейся к элементу x
0
∈Х и за-
писывают x
n
→х
0
, если 0
0
→− x
n
х при n→∞. Пусть x
n
, x, y
n
,y ∈Е (n∈N). Дока-
зать, что
а) если x
n
→х, то x
n
– ограниченная последовательность:
б) если x
n
→х, λ
n
→λ, λ
n
∈С, то λ
n
x
n
→λх;
в) если x
n
→х, то
x→
n
x
;
г) если x
n
→х, 0→−
n
y
n
x , то у
n
→х;
д) если x
n
→х, yxy
n
x −→− ;
е) если x
n
→х, у
n
→у, то
yx
n
y
n
x −→−
. 
                                                     11


                       1                  1                  1
                 P                  P                  P
( ∫ х(t ) + y(t ) dt ) P ≤ ( ∫ х(t ) dt ) P + ( ∫ y(t ) dt ) P .
 G                          G                  G
Таким образом, рассматриваемое линейное пространство оказывается нормиро-
ванным с нормой (6). Оно называется пространством Лебега и обозначается LP
или LP.


18. Пространство lp. Будем рассматривать всевозможные последовательности
(x1,x2,x3,…)=х вещественных или комплексных чисел, для которого
   n      P 1
( ∑ х      ) P 〈+∞, p ≥ 1. Такие последовательности в силу (5) образуют линейное
        k
 k =1
пространство относительно сложения                    х+у=( x1+у1,x2+у2,x3+у3,…) и
умножения αх=(αx1, αx2, αx3,…) на скаляры соответственно из поля IR или С.
Положим

                          ∞     P 1
                     х =( ∑ х    )P                                (7).
                              k
                         k =1
Выполнение первой и второй аксиомы нормы непосредственно следует из опре-
деления, а третьей – из неравенства Минковского для сумм.


   Упражнения для самостоятельного решения
9. Последовательность xn∈Е (n∈N) называют сходящейся к элементу x0∈Х и за-
писывают xn→х0, если хn − x → 0 при n→∞. Пусть xn, x, yn,y ∈Е (n∈N). Дока-
                            0
зать, что
а) если xn→х, то xn – ограниченная последовательность:
б) если xn→х, λn→λ, λn∈С, то λn xn→λх;

в) если xn→х, то x n → x ;

г) если xn→х, xn − y n → 0 , то уn→х;

д) если xn→х, xn − y → x − y ;

е) если xn→х, уn→у, то xn − yn → x − y .

Страницы