Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 13 стр.

                                          13


и) пространство с0 стремящихся к нулю последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk
∈R, xk C) с нормой х = max x .
                        k k
к) пространство С сходящихся последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ∈R, xk ∈C)
с нормой х = sup x .
                  k
               k
Основным аппаратом при доказательстве теорем гармонического анализа являет-
ся интегрирование непрерывных абстрактных функций со значениями в нормиро-
ванном пространстве Е. Приведем соответствующие определения и необходимые
элементы теории.
   Пусть f(t) означает элемент полного нормированного пространства Е, завися-
щий от вещественного параметра t, или, что тоже, функцию параметра t, со значе-
ниями в пространстве Е. Такие функции называют абстрактными функциями. Бу-
дем говорить, что f(t) непрерывно зависит от параметра t в точке t = τ, если при t
→ τ всегда норма разности f(t) – f(τ) стремится к нулю. Абстрактная функция f(t),
непрерывно зависящая от t при любом t из отрезка [a, b], называется непрерывной
абстрактной функцией от t на [a, b].
   Следующие предложения, представляющие собой естественные обобщения из-
вестных элементарных теорем анализа, легко доказываются с помощью обычных
рассуждений, использующих компактность отрезка:
   А) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, ограничена по норме на
этом отрезке.
   Б) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на
этом отрезке.
   В) Последовательность абстрактных функций fn(t) называется сходящейся к
абстрактной функции f(t) равномерно на [a, b], если для любого ε>0 можно ука-
зать такой номер N = N(ε), что при n>N максимум нормы разности этих функций
меньше ε.
  Утверждается, что предел равномерно сходящейся последовательности непре-
рывных функций fn(t) есть также непрерывная функция.
   Интеграл от абстрактной функции обладает обычными свойствами интеграла
(линейность, аддитивность, оценка нормы и т. п.).


          3. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА