Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

15
представляет собой хорошо известный пример евклидова пространства. Ортого-
нальный нормированный базис в нем образуют векторы е
1
==(1,0,0,…,0),
е
2
=(1,0,0,…,0),…, е
n
=(1,0,0,…,0).
22. Пространство l
2
c элементами х=(х
1
, х
2
,…, х
n, …
), где
〈∞
∑
∞
=1
2
i
i
х
, и скалярным
произведением
∑
∞
=
=
1
),(
i
i
y
i
хух
(3)
есть евклидово пространство. Действительно, сходимость ряда, стоящего в (3)
справа следует из неравенства
1
2
1
2
2
)
1
(
∑
∞
=
⋅
∑
∞
=
≤
∑
∞
= i
i
у
i
i
х
i
i
y
i
х
. Свойства 1)-4) ска-
лярного произведения проверяются непосредственно. Простейший ортогональ-
ный нормированный базис в l
2
образуют векторы
е
1
= (1, 0, 0, …), е
2
= (0, 1, 0, …), …, е
n
= (0, 0, …, 1, …), … (4)
Ортогональность и нормированность этой системы очевидна.
23. Пространство С
2
([a,b]), состоящее из непрерывных на [a,b] действительных
функций со скалярным произведением
∫
=
b
a
dttgtfgf )()(),(
(5)
также является евклидовым пространством. Среди различных ортогональных ба-
зисов, которые можно указать в нем важнейшим является трригонометрическая
система, состоящая из функций
ab
t
n
ab
t
n
−
−
π
π
2
sin,
2
cos,
2
1
(n=1,2,…). (6)
Ортогональность этой системы проверяется непосредственно. Если рассматрива-
ются непрерывные функции на отрезке длины 2π, скажем на
[-π;π], то соответствующая тригонометрическая система имеет вид
ntnt sin,cos,
2
1
(n=1,2,…).
Упражнения
24. Докажите, что система функций
,...cos,...,2cos,cos,1 nx
x
x
ортогональна в [0;π].
25. Докажите, что система функций ,...sin,...,2sin,sin nx
x
x
ортогональна в [0;π]. 
                                              15


представляет собой хорошо известный пример евклидова пространства. Ортого-
нальный нормированный базис в нем образуют векторы е1==(1,0,0,…,0),
е2=(1,0,0,…,0),…, еn=(1,0,0,…,0).
                                                           ∞
22. Пространство l2 c элементами х=(х1, х2,…, хn, …), где ∑ хi 2 〈∞ , и скалярным
                                                         i =1
произведением
                                   ∞
                       ( х, у ) = ∑ хi yi                            (3)
                                 i =1
есть евклидово пространство. Действительно, сходимость ряда, стоящего в (3)
                                 ∞             ∞        ∞
справа следует из неравенства ( ∑ хi yi ) 2 ≤ ∑ хi 2 ⋅ ∑ уi 2 . Свойства 1)-4) ска-
                               i =1          i =1     i =1
лярного произведения проверяются непосредственно. Простейший ортогональ-
ный нормированный базис в l2 образуют векторы
е1 = (1, 0, 0, …), е2 = (0, 1, 0, …), …, еn = (0, 0, …, 1, …), …               (4)
Ортогональность и нормированность этой системы очевидна.
23. Пространство С2([a,b]), состоящее из непрерывных на [a,b] действительных
функций со скалярным произведением
                b
    ( f , g ) = ∫ f (t ) g (t )dt                                                    (5)
                a
также является евклидовым пространством. Среди различных ортогональных ба-
зисов, которые можно указать в нем важнейшим является трригонометрическая
система, состоящая из функций
     1         2πt         2πt
       , cos n     , sin n     (n=1,2,…).                                            (6)
     2         b−a         b−a
Ортогональность этой системы проверяется непосредственно. Если рассматрива-
ются непрерывные функции на отрезке длины 2π, скажем на
                                                                           1
[-π;π], то соответствующая тригонометрическая система имеет вид              , cos nt , sin nt
                                                                           2
(n=1,2,…).
Упражнения

24. Докажите, что система функций 1, cos x, cos 2 x,..., cos nx,... ортогональна в [0;π].

25. Докажите, что система функций sin x, sin 2 x,..., sin nx,... ортогональна в [0;π].

Страницы