Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

9
Определение 1. Последовательность {x
n
}, n = 1, 2, … элементов метрического
пространства (Х, ρ) называется фундаментальной, если ρ(х
n
, у
m
) → 0, когда n, m
стремятся к бесконечности.
Определение 2. Метрическое пространство (Х, ρ) называется полным, если в
нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу,
являющемуся элементом этого пространства.
IR, IR
n
, C[a, b] – полные метрические пространства.
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение. Линейное пространство Е называется нормированным простран-
ством, если каждому x∈Е поставлено в соответствие неотрицательное число
х
(норма х) так, что выполняется следующие три аксиомы:
1)
0;0 =≥ хх
в том и только в том случае, когда х=0;
2)
хх ⋅=
λ
λ
, 3)
ухух
+
≤
+
.
Таким образом, норма – это определенная всюду на Е функция с неотрицатель-
ными значениями и со свойствами 1)-3). Заметим, что аксиома 1) называется ус-
ловием невырожденности нормы, 2) – условием однородности нормы, а аксиома
3) – неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что дли-
на сторон треугольника не превышает сумы длин двух других его сторон. Как
следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна
разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы
имеет вид
ухух −≥−
. (1) Дока-
жем это неравенство. По неравенству треугольника имеем
уухуухх
+
−
≤
+−= )(
, откуда
ухух
−
≥
−
; меняя ролями х и у, получаем
хуух −≥−
. Оба последние неравенства в совокупности дают неравенство
(1).
В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя
его элементами по формуле
ρ(x,y)=
ух
−
.
Примеры нормированных пространств.
1. Прямая IR становится нормированным пространством, если для всякого числа
x
∈IR положить
хх
=
.
2.
Если в действительном n-мерном пространстве IR
n
c элементами
x=(x
1
,x
2
,..,x
n
) положить 
                                           9


   Определение 1. Последовательность {xn}, n = 1, 2, … элементов метрического
пространства (Х, ρ) называется фундаментальной, если ρ(хn, уm) → 0, когда n, m
стремятся к бесконечности.
   Определение 2. Метрическое пространство (Х, ρ) называется полным, если в
нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу,
являющемуся элементом этого пространства.
  IR, IRn , C[a, b] – полные метрические пространства.
                    2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
   Определение. Линейное пространство Е называется нормированным простран-
ством, если каждому x∈Е поставлено в соответствие неотрицательное число х
(норма х) так, что выполняется следующие три аксиомы:
1) х ≥ 0; х = 0 в том и только в том случае, когда х=0;

2) λх = λ ⋅ х , 3) х + у ≤ х + у .

Таким образом, норма – это определенная всюду на Е функция с неотрицатель-
ными значениями и со свойствами 1)-3). Заметим, что аксиома 1) называется ус-
ловием невырожденности нормы, 2) – условием однородности нормы, а аксиома
3) – неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что дли-
на сторон треугольника не превышает сумы длин двух других его сторон. Как
следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна
разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы
имеет вид
 х− у ≥ х − у .                                                            (1) Дока-
жем       это      неравенство.     По      неравенству     треугольника       имеем
 х = ( х − у) + у ≤ х − у + у , откуда х − у ≥ х − у ; меняя ролями х и у, получаем
 х − у ≥ у − х . Оба последние неравенства в совокупности дают неравенство
(1).
В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя
его элементами по формуле ρ(x,y)= х − у .

Примеры нормированных пространств.
1. Прямая IR становится нормированным пространством, если для всякого числа
x∈IR положить х = х .

2.    Если в действительном n-мерном пространстве IRn c элементами
x=(x1,x2,..,xn) положить

Страницы