Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

8
7. Пусть Х = IR и для ∀{x,y}⊂ IR, ρ(x,y) = min(1, ⏐x-y⏐). Доказать, что ρ - метрика
на IR, а (Х,ρ) - метрическое пространство.
8. Доказать, что каждая из функций d
1
(x,y) =
∑
=
−
m
i
i
y
i
x
1
, d
2
=
i
y
i
x
mi
−
≤≤1
max
,
где x=(x
1
,x
2
,..,x
m
)∈IR
m
, y=(y
1
,y
2
,..,y
m
)∈IR
m
является метрикой в IR
m
.
9.Доказать, что каждая из функций d
1
(x,y)= dt
b
a
tytx
∫
− )()(,
d
2
(x,y)={
dt
b
a
tytx
∫
−
2
))()((
}
0,5
, где {x, y}⊂ C([a; b]), является метрикой на C([a;
b]).
10. Пусть Х = {x=(x
n
)=(x
1
,x
2
,..,x
n
,…) ∀n≥1: x
n
∈IR: 〈+∞
≥
n
x
n 1
sup }
ρ(x,y)=
n
y
n
x
n
−
≥1
sup для х={x
n
}∈X, y={y
n
}∈X. Доказать, что (Х, ρ) – метрическое
пространство.
11. Пусть Х – произвольное множество и ρ(x,y)=1, если x≠y и ρ(x,y)=0, если x=y.
Убедитесь в том, что (Х,ρ) – метрическое пространство. Такую метрику ρ назы-
вают дискретной.
12. Пусть x={x
n
}∈ l
2
, y={y
n
}∈ l
2
d(x,y)=
∑
∞
=
−
1n
n
n
y
n
x
. Доказать, что (l
2
, d) – метри-
ческое пространство.
13. Доказать, что для любых элементов x, y, u и v из метрического пространства Х
выполняется неравенство четырехугольника
⎮ρ(x, u)- ρ(y, v)⎮ ≤ρ(x, y)+ρ(u, v).
14. Пусть (Х
i
, ρ
i
) – метрическое пространство и Х=Х
1
×Х
2
– декартово произведе-
ние множеств Х
1
и Х
2.
Для любого x=(x
1
,x
2
)∈Х, у=(у
1
,у
2
)∈Х положим ρ(x,y)=
ρ((x
1
,х
2
), (у
1
,у
2
)):
)
2
,
2
(
2
2
)
1
,
1
(
2
1
yxyx
ρρ
+
. Доказать, что ρ является метрикой на Х,
а (Х, ρ) – метрическим пространством. В этом случае (Х,ρ) называют прямым де-
картовым произведением метрических пространств (Х
1
, ρ
1
) и (Х
2
, ρ
2
).
15. Доказать, что в декартовом произведении двух метрических пространств мет-
рику можно определить по формуле d(x,y)= ρ
1
(x
1
,y
1
)+ ρ
2
(x
2
,y
2
).
16. Пусть Х= IR и ρ(x,y)=⎮х-у⎮. Доказать, что пространство (IR
m
,ρ) является де-
картовым произведением m экземпляров метрических пространств (IR,ρ). 
                                                       8


7. Пусть Х = IR и для ∀{x,y}⊂ IR, ρ(x,y) = min(1, ⏐x-y⏐). Доказать, что ρ - метрика
на IR, а (Х,ρ) - метрическое пространство.
                                                m
8. Доказать, что каждая из функций d1(x,y) = ∑ xi − yi ,     d2 = max xi − yi ,
                                              i =1                  1≤ i ≤ m
                      m                    m                      m
где x=(x1,x2,..,xm)∈IR , y=(y1,y2,..,ym)∈IR является метрикой в IR .

9.Доказать,            что           каждая        из     функций       d1(x,y)= ∫ab x(t ) − y (t ) dt ,
d2(x,y)={ ∫ab ( x(t ) − y (t )) 2 dt }0,5, где {x, y}⊂ C([a; b]), является метрикой на C([a;
b]).

10.     Пусть          Х        =      {x=(xn)=(x1,x2,..,xn,…)     ∀n≥1:
                                                            xn∈IR: sup xn 〈+∞ }
                                                                    n ≥1
ρ(x,y)= sup xn − y n для х={xn}∈X, y={yn}∈X. Доказать, что (Х, ρ) – метрическое
       n ≥1
пространство.
11. Пусть Х – произвольное множество и ρ(x,y)=1, если x≠y и ρ(x,y)=0, если x=y.
Убедитесь в том, что (Х,ρ) – метрическое пространство. Такую метрику ρ назы-
вают дискретной.

                                         ∞ x − yn
12. Пусть x={xn}∈ l2, y={yn}∈ l2 d(x,y)= ∑ n      . Доказать, что (l2, d) – метри-
                                        n =1 n
ческое пространство.
13. Доказать, что для любых элементов x, y, u и v из метрического пространства Х
выполняется неравенство четырехугольника
                                    ⎮ρ(x, u)- ρ(y, v)⎮ ≤ρ(x, y)+ρ(u, v).
14. Пусть (Хi, ρi) – метрическое пространство и Х=Х1×Х2 – декартово произведе-
ние множеств Х1 и Х2. Для любого x=(x1,x2)∈Х, у=(у1,у2)∈Х положим ρ(x,y)=
ρ((x1,х2), (у1,у2)):       ρ 2 ( x , y ) + ρ 2 ( x , y ) . Доказать, что ρ является метрикой на Х,
                            1   1 1        2   2   2
а (Х, ρ) – метрическим пространством. В этом случае (Х,ρ) называют прямым де-
картовым произведением метрических пространств (Х1, ρ1) и (Х2, ρ2).
15. Доказать, что в декартовом произведении двух метрических пространств мет-
рику можно определить по формуле d(x,y)= ρ1(x1,y1)+ ρ2(x2,y2).
16. Пусть Х= IR и ρ(x,y)=⎮х-у⎮. Доказать, что пространство (IRm,ρ) является де-
картовым произведением m экземпляров метрических пространств (IR,ρ).

Страницы