Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

7
ются. Согласно неравенству Коши для x=(x
1
,x
2
,..,x
m
)∈IR
m
, y=(y
1
,y
2
,..,y
m
)∈IR
m
,
z=(z
1
,z
2
,..,z
m
)∈IR
m
, получим
ρ
2
(x,y)=
≤+−⋅
∑
=
−
∑
=
+=−+−=
∑
=
− y)(z,
2
ρ)
i
y
i
(z
m
1i
)
i
z
i
(x
m
1i
2y)(x,
2
ρ
2
)
i
y
i
z
i
z
i
(x
m
1i
2
)
i
y
i
(x
2
y))ρ(z,z)(x,(y)(z,
2
ρy)ρ(z,z)ρ(x,2z)(x,
2
ρ +=++≤
ρ
. Учитывая условие 1), полу-
чим неравенство 3). Таким образом, ρ - метрика на IR
m
, а (IR
m
,ρ) – метрическое
пространство. Обычно эту метрику называют евклидовой.
2.
Пространство (l
2
, ρ). Пусть Х= l
2
:= {x=(x
n
)=(x
1
,x
2
,..,x
n
,…)} ∀n≥1: x
n
∈IR -
пространство бесконечных числовых последовательностей, для которых ряд
∑
∞
=1
2
n
n
x сходится и для ∀x∈l
2
, ∀y∈l
2
∑
∞
=
−=
1
2
)(),(
n
n
y
n
xyx
ρ
.
Проверку условий 1)-3) можно выполнить в качестве упражнения.
4. Пространство (С([a, b]), ρ). Это пространство функций непрерывных на отрез-
ке [a, b]. Пусть x ∈ С([a, b]) и ∀{x, y}⊂ С([a, b])
ρ (x, y):=
)()(max tytx
bta
−
≤≤
.
Расстояние ρ в этом случае имеет простой геометрический смысл и представляет
собой максимум модуля разности ординат точек графиков функций, когда аргу-
мент пробегает отрезок [a, b]. Свойства 1)-3) метрики ρ легко проверить.
5. Пусть Х – метрическое пространство, тогда имеет место неравенство треуголь-
ника ∀{x, y, z}⊂X: ⏐ρ(x,z) - ρ(z,y)|≤ρ(x,y) .
Решение. Следуя аксиомам 3) и 2), получим
ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(z,y)⇒ρ(x,z)-ρ(z,y)≤ρ(x,y). (1)
Аналогично
ρ(z,y)≤ρ(z,x)+ρ(x,y)⇒ρ(z,y)-ρ(x,z)≤ρ(x,y). (2)
Согласно свойствам модуля вещественного числа оба неравенства (1) и (2) равно-
сильны доказываемому.
6. Для любого конечного набора x
1
,x
2
,..,x
n
точек из метрического пространства Х
выполняется неравенство ρ(x
1
,x
n
)≤ρ(x
1
,x
2
)+ρ(x
2
,x
3
)+ ρ(x
3
,x
4
)+…+ ρ(x
n-1
,x
n
),
называемое неравенством многоугольника.
Доказательство этого неравенства можно получить вследствие последовательного
применения аксиомы 3).
Упражнения (для самостоятельного решения) 
                                                         7


ются. Согласно неравенству Коши для x=(x1,x2,..,xm)∈IRm, y=(y1,y2,..,ym)∈IRm,
z=(z1,z2,..,zm)∈IRm,                                                                                     получим
 2
ρ (x,y)=
 m                  m                                            m
 ∑ (x i − y i ) 2 = ∑ (x i − z i + z i − yi ) 2 = ρ 2 (x, y) + 2 ∑ (x i − z i ) ⋅ (z i − yi ) + ρ 2 (z, y) ≤
i=1                i=1                                          i=1
≤ ρ (x, z) + 2 ρ(x, z) ρ(z, y) + ρ (z, y) = ( ρ (x, z) + ρ(z, y))2 . Учитывая условие 1), полу-
    2                                 2
чим неравенство 3). Таким образом, ρ - метрика на IRm, а (IRm,ρ) – метрическое
пространство. Обычно эту метрику называют евклидовой.
2.   Пространство (l2, ρ). Пусть Х= l2 := {x=(xn)=(x1,x2,..,xn,…)} ∀n≥1: xn∈IR -
пространство бесконечных числовых последовательностей, для которых ряд
  ∞                                                ∞
  ∑ xn 2 сходится и для ∀x∈l2, ∀y∈l2 ρ ( x, y ) = ∑ ( xn − yn ) 2 .
n =1                                              n =1
Проверку условий 1)-3) можно выполнить в качестве упражнения.
4. Пространство (С([a, b]), ρ). Это пространство функций непрерывных на отрез-
ке [a, b]. Пусть x ∈ С([a, b]) и ∀{x, y}⊂ С([a, b])
ρ (x, y):= max x(t ) − y (t ) .
          a≤t ≤b
Расстояние ρ в этом случае имеет простой геометрический смысл и представляет
собой максимум модуля разности ординат точек графиков функций, когда аргу-
мент пробегает отрезок [a, b]. Свойства 1)-3) метрики ρ легко проверить.
5. Пусть Х – метрическое пространство, тогда имеет место неравенство треуголь-
ника ∀{x, y, z}⊂X: ⏐ρ(x,z) - ρ(z,y)|≤ρ(x,y) .
Решение. Следуя аксиомам 3) и 2), получим
     ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(z,y)⇒ρ(x,z)-ρ(z,y)≤ρ(x,y).                                                         (1)
Аналогично
ρ(z,y)≤ρ(z,x)+ρ(x,y)⇒ρ(z,y)-ρ(x,z)≤ρ(x,y).                                                        (2)
Согласно свойствам модуля вещественного числа оба неравенства (1) и (2) равно-
сильны доказываемому.
6. Для любого конечного набора x1,x2,..,xn точек из метрического пространства Х
выполняется неравенство ρ(x1,xn)≤ρ(x1,x2)+ρ(x2,x3)+ ρ(x3,x4)+…+ ρ(xn-1,xn),
называемое неравенством многоугольника.
Доказательство этого неравенства можно получить вследствие последовательного
применения аксиомы 3).
Упражнения (для самостоятельного решения)

Страницы