Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

6
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Логический анализ понятия предела последовательности действительных чи-
сел, предела функции в точке, непрерывности и ряда других важнейших, связан-
ных с этими понятий показывает, что все эти понятия опираются на использова-
ние расстояния между точками прямой. Перечень свойств расстояний довольно
краток и состоит из таких утверждений:
1. ∀{x,y
}⊂ IR: ⎢x-y⎪≥0, причем ⎢x-y⎪=0 ⇔ x=y;
2. ∀{x,y}⊂ IR: ⎢x-y⎪=⎜y-x⎪;
3. ∀{x, y, z}⊂ IR: ⎢x-y⎪≤⎜x-z⎪+⎪z-y⎪.
Здесь ⎢x-y⎪ - расстояние между точками с координатами x и y на прямой. Свойст-
вами 1-3 обладает также обыкновенное расстояние в трехмерном пространстве.
Абстрактное определение расстояния, обладающего свойствами 1-3 на множестве
элементов произвольной
природы позволяет строить ряд понятий математическо-
го анализа на этом множестве.
Пусть X – некоторое множество, будем считать, что X≠∅. Элементы множест-
ва Х называют также точкам, а само множество Х – пространством.
Определение. Расстоянием (метрикой) ρ на пространстве Х называется функция
ρ: Х × Х → IR, удовлетворяющая условиям:
1) ∀{x,y}⊂Х:
ρ(x,y)≥0, причем ρ(x,y)=0⇔ x=y;
2) ∀{x,y}⊂Х: ρ(x,y)=ρ(y, х);
3) ∀{x, y, z}⊂ Х: ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y).
Множество Х вместе с метрикой ρ называется метрическим пространством и обо-
значается символом (Х, ρ).
Замечание. Условия 1)-3) называют также аксиомами, условие 2) – аксиомой
симметрии; а 3) – неравенством треугольника.
Примеры:
1. Пусть Х=IR и ρ(x,y)=
⎢x-y⎪, {x,y}⊂IR. Тогда (IR,ρ) – метрическое про-
странство с обычным расстоянием.
2. Пространство (IR
m
,ρ). Пусть для фиксированного m∈Ν
X=IR
m
:={(x
1
,x
2
,..,x
m
):⎢x
i
∈IR, 1≤ i ≤m} и ∀{x=(x
1
,x
2
,..,x
m
), y=(y
1
,y
2
,..,y
m
)}⊂IR
m
пусть
ρ(x,y):=
∑
=
−
m
1i
2
)
i
y
i
(x
. Докажем, что ρ - метрика в IR
m
. Условия 1) и 2) выполня-
                                             6



                      1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА


   Логический анализ понятия предела последовательности действительных чи-
сел, предела функции в точке, непрерывности и ряда других важнейших, связан-
ных с этими понятий показывает, что все эти понятия опираются на использова-
ние расстояния между точками прямой. Перечень свойств расстояний довольно
краток и состоит из таких утверждений:
1.    ∀{x,y}⊂ IR: ⎢x-y⎪≥0, причем ⎢x-y⎪=0 ⇔ x=y;
2.    ∀{x,y}⊂ IR: ⎢x-y⎪=⎜y-x⎪;
3.    ∀{x, y, z}⊂ IR: ⎢x-y⎪≤⎜x-z⎪+⎪z-y⎪.
Здесь ⎢x-y⎪ - расстояние между точками с координатами x и y на прямой. Свойст-
вами 1-3 обладает также обыкновенное расстояние в трехмерном пространстве.
Абстрактное определение расстояния, обладающего свойствами 1-3 на множестве
элементов произвольной природы позволяет строить ряд понятий математическо-
го анализа на этом множестве.
   Пусть X – некоторое множество, будем считать, что X≠∅. Элементы множест-
ва Х называют также точкам, а само множество Х – пространством.
Определение. Расстоянием (метрикой) ρ на пространстве Х называется функция
ρ: Х × Х → IR, удовлетворяющая условиям:
1)    ∀{x,y}⊂Х: ρ(x,y)≥0, причем ρ(x,y)=0⇔ x=y;
2)    ∀{x,y}⊂Х: ρ(x,y)=ρ(y, х);
3)    ∀{x, y, z}⊂ Х: ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y).
Множество Х вместе с метрикой ρ называется метрическим пространством и обо-
значается символом (Х, ρ).
Замечание. Условия 1)-3) называют также аксиомами, условие 2) – аксиомой
симметрии; а 3) – неравенством треугольника.
Примеры:
1.    Пусть Х=IR и ρ(x,y)=⎢x-y⎪, {x,y}⊂IR. Тогда (IR,ρ) – метрическое про-
странство с обычным расстоянием.
2.     Пространство       (IRm,ρ).    Пусть     для        фиксированного        m∈Ν
     m                                                                         m
X=IR :={(x1,x2,..,xm):⎢xi∈IR, 1≤ i ≤m} и ∀{x=(x1,x2,..,xm), y=(y1,y2,..,ym)}⊂IR пусть
          m
ρ(x,y):= ∑ (x − y ) 2 . Докажем, что ρ - метрика в IRm. Условия 1) и 2) выполня-
         i=1 i i

Страницы