Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 10 стр.

                                           10


                       n
               х =    ∑ хk 2 ,                                         (2)
                     k =1

то     все    аксиомы      нормы   будут   выполнены.   Формула         ρ(x,y)= х − у
     n
    ∑ ( хk 2 − yk 2 ) определяет в IR ту самую метрику, которую мы рассматри-
                                     n
=
   k =1
вали в пункте 1.
В этом же линейном пространстве можно ввести норму
                       n
                  х = ∑ х                                        (3)
                          k
                     k =1
или норму

    х = max х .                                            (4)
       1≤ k ≤ n k
     Упражнения
17. Пространства Лебега LP (p≥1). Пусть G – измеримое множество в 3-мерном
евклидовом пространстве. Будем рассматривать всевозможные вещественные или
комплексные функции на G, суммируемые по Лебегу со степенью р, и введем
обычные действия сложения функций и умножения функций на число. Тогда по-
лучим вещественное (соответственно комплексное) линейное пространство. Дей-
ствительно, если x(t) и y(t) суммируемые со степенью р, то их сумма также сум-
мируема на G со степенью р, ибо она измерима и
      ⎮a+b⎮P ≤ 2P (⎮a⎮P +⎮b⎮P) ,                                              (5)
что вытекает из неравенства ⎮a+b⎮P ≤ (2⎮a⎮)P = 2P ⎮a⎮P ≤ 2P (⎮a⎮P +⎮b⎮P) при
⎮b⎮≤⎮а⎮. Положим теперь
                         1
                   P
      х = ( ∫ x(t ) dt ) P .                                                  (6).
           G
1) х ≥ 0 . Нуль пространства LP есть функция, равная нулю почти всюду на G. В
теории интеграла принято, что функции, отличающиеся друг от друга лишь на
множестве меры нуль, считается эквивалентными, поэтому х = 0 ⇔ х = 0 . Ясно
также, что
2) λх = λ ⋅ х . Третье свойство нормы есть здесь не что иное, как неравенство
Минковского: