Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

18
ливость критерия Коши в IR означает, что вся вещественная ось IR заполнена
точками – вещественными числами, на ней нет «дыр», т.е. что она полна.
Если бы мы ограничились только рациональными числами, это было бы не так.
Например, последовательность десятичных приближений к
2
с недостатком:
х
1
=1, х
2
=1,4, х
3
=1,41,… - фундаментальная, однако в множестве рациональных
чисел она не является сходящейся (предел у нее есть и равен
2
, но это число ир-
рациональное).
2. Пространство IR
m
(m>1) также банахово, т.к. в IR
m
тоже справедлив критерий
Коши.
3. Пространство С([a;b]) является банаховым пространством. Пусть (х
n
(t)) ⊂
С([a;b]). Справедлив следующий критерий Коши равномерной сходимости после-
довательности функций: для того чтобы (х
n
(t)) сходилась в С([a;b]), т.е. равномер-
но на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы для любого
ε>0 существовал номер
N=N(
ε) такой, что при всех номерах n>N и любых натуральных р имело место не-
равенство
ε
〈−
+
]);([ baС
n
x
pn
х
, или иначе,
ε
〈−
+
)()( t
n
xt
pn
х для всех t∈ [a,b].
Полнота С([a;b]) отчетливо проступает также в следующей теореме: если после-
довательность непрерывных на [a;b] функций (х
n
(t)) сходится равномерно на [a;b]
к некоторой функции х(t), то х(t) непрерывна на [a;b].
Пусть Х – бесконечномерное банахово пространство. Последовательность (е
k
)
1
∞
⊂Х называется базисом в Х, если любой элемент х∈Х может быть представлен в
виде сходящегося ряда
∑
∞
=
=
1n
k
е
k
х
ξ
.
Пространство Н со скалярным проиведением называется гильбертовым, если оно
полно в норме, порожденной скалярным прозведением.
Простейший пример гильбертова пространства дает евклидово пространство IR
m
.
Углом между ненулевыми элементоми х, у вещественного гильбертова простран-
ства называется угол ϕ, заключенный между 0 и π такой, что
.
),(
cos
yx
y
x
⋅
=
ϕ
Элементы х,у∈Н называют ортогональными и записывают х⊥у, если (х,у)=0.
Множество z∈Н таких, что (z,х)=0 для любого х∈М⊂Н, обозначается М
⊥
.
Система элементов h
1
,h
2
,… ∈Н называется ортогональной, если (h
i
,h
j
)=0 при i≠j,
h
i
≠0 и ортонормированной, если (h
i
,h
j
)=δ
ij
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
,0
,1
jiпри
jiпри
. 
                                               18


ливость критерия Коши в IR означает, что вся вещественная ось IR заполнена
точками – вещественными числами, на ней нет «дыр», т.е. что она полна.
Если бы мы ограничились только рациональными числами, это было бы не так.
Например, последовательность десятичных приближений к 2 с недостатком:
х1=1, х2=1,4, х3=1,41,… - фундаментальная, однако в множестве рациональных
чисел она не является сходящейся (предел у нее есть и равен 2 , но это число ир-
рациональное).
2. Пространство IRm (m>1) также банахово, т.к. в IRm тоже справедлив критерий
Коши.
3. Пространство С([a;b]) является банаховым пространством. Пусть (хn(t)) ⊂
С([a;b]). Справедлив следующий критерий Коши равномерной сходимости после-
довательности функций: для того чтобы (хn(t)) сходилась в С([a;b]), т.е. равномер-
но на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовал номер
N=N(ε) такой, что при всех номерах n>N и любых натуральных р имело место не-
равенство хn + p − xn           〈ε , или иначе, хn + p (t ) − xn (t ) 〈ε для всех t∈ [a,b].
                      С ([a;b])

Полнота С([a;b]) отчетливо проступает также в следующей теореме: если после-
довательность непрерывных на [a;b] функций (хn(t)) сходится равномерно на [a;b]
к некоторой функции х(t), то х(t) непрерывна на [a;b].
Пусть Х – бесконечномерное банахово пространство. Последовательность (еk)1∞
⊂Х называется базисом в Х, если любой элемент х∈Х может быть представлен в
                          ∞
виде сходящегося ряда х = ∑ ξ е .
                               k k
                         n =1
Пространство Н со скалярным проиведением называется гильбертовым, если оно
полно в норме, порожденной скалярным прозведением.
Простейший пример гильбертова пространства дает евклидово пространство IRm .
Углом между ненулевыми элементоми х, у вещественного гильбертова простран-
                                                                  ( x, y )
ства называется угол ϕ, заключенный между 0 и π такой, что cosϕ =          .
                                                                  x⋅ y

Элементы х,у∈Н называют ортогональными и записывают х⊥у, если (х,у)=0.
Множество z∈Н таких, что (z,х)=0 для любого х∈М⊂Н, обозначается М⊥.
Система элементов h1,h2,… ∈Н называется ортогональной, если (hi,hj)=0 при i≠j,
                                             ⎧ 1 при i = j,
hi≠0 и ортонормированной, если (hi,hj)=δij= ⎪⎨              .
                                             ⎪⎩0 при i ≠ j,

Страницы