Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

21
Возьмем теперь элемент х∈Е и вычислим квадрат расстояния между х и u
n
:
2
2
n
ux
n
−=Δ .
Рассуждения ведутся для случая комплексного Е. В вещественном случае вся вы-
кладки тоже справедливы, но несколько упрощаются. Пользуясь свойствами ска-
лярного произведения, получаем
)
n
1k
kk
α,x
n
1k
kk
α(x
2
n
Δ
∑
=
−
∑
=
−=
ϕϕ
= (х,х) -
∑
=
∑
=
∑
=
+−
n
k
n
k
n
k
kkkkk
x
k
x
kk
111
),(),(),(
ϕϕααϕαϕα
.
Заметим теперь, что (х, ϕ
k
)=
2
),(),(,
2
kk
c
k
xx
kkk
c
ϕϕϕϕ
== , где с
k
– коэффици-
ент Фурье элемента х.
Следовательно
∑
=
+
∑
=
−
∑
=
−=Δ
n
k
kkk
n
k
kk
c
k
n
k
kk
c
k
x
n
1
2
1
2
1
2
2
2
ϕααϕαϕα
.
Далее,
2
))((
2
k
c
kk
c
k
c
n
kkk
c
k
n
c
n
k
c
k
+−−=−−=−
ααααααα
, и мы получа-
ем
∑
=
−+
∑
=
−=
n
1k
2
k
2
)
k
c
k
(α
n
1k
2
k
2
k
cx
2
n
Δ
ϕϕ
. Теперь мы можем вычислить
d
n
=ρ(x,L
n
) =
n
,...,
1
infinf Δ=−
∈
n
n
ux
n
L
n
u
αα
, где Δ
n
– зависит от
∑
=
=
n
1k
kk
α
n
u
ϕ
, т.е.
от n комплексных переменных α
1
, α
2
,…, α
n
. Явная формула, полученная для
2
n
Δ
показывает, что d
n
достигается при α
k
= c
k
, k=1,2,…,n. Это свойство коэффициен-
тов с
1
, с
2
,…, с
n
называется экстремальным свойством коэффициентов Фурье.
Итак, доказана следующая
Теорма. Пусть (ϕ
k
) ортогональная в пространстве со скалярным произведением Е,
пусть L
n
– подпространство натянутое на ϕ
1
, ϕ
2
,…, ϕ
n
. Тогда d
n
=ρ(x,L
n
), х∈Е, да-
ется следующими формулами:
∑
=
−=
n
1k
kk
c
ϕ
x
n
d
, (1)
∑
=
−=
n
1k
2
k
2
k
c
2
x
2
ϕ
n
d
, (2)
где c
k
, k=1,2,…,n – коэффициенты Фурье элемента х по системе (ϕ
k
). 
                                                21


Возьмем теперь элемент х∈Е и вычислим квадрат расстояния между х и un:
             2
Δ2n = x − u n .

Рассуждения ведутся для случая комплексного Е. В вещественном случае вся вы-
кладки тоже справедливы, но несколько упрощаются. Пользуясь свойствами ска-
                                2                n             n
лярного произведения, получаем Δn = (x− ∑ αkϕk ,x− ∑ αkϕk ) = (х,х) -
                                               k =1          k =1
  n                  n                   n
 ∑ α k (ϕ k , x ) − ∑ α k ( x , ϕ k ) + ∑ α k α k (ϕ k , ϕ k ) .
k =1               k =1                k =1
                                      2                                2
Заметим теперь, что (х, ϕk)= c ϕ          , (ϕ , x) = ( x,ϕ ) = c ϕ        , где сk – коэффици-
                              k k             k            k     k k
ент Фурье элемента х.
                           n        2    n        2    n        2
Следовательно Δ2n = x 2 − ∑ α c ϕ     − ∑ α c ϕ     + ∑ α α ϕ     .
                              k k k         k k k         k k k
                         k =1          k =1          k =1
                 2                                                 2
Далее, α − c       = (α n − cn )(α − c ) = α α − α n c − c α + c , и мы получа-
          k    k                  k     k   k k        k   k k   k
                n      2     2      n              2
ем Δ 2n = x − ∑ c        ϕ      + ∑ (α − c ) 2 ϕ      . Теперь мы можем вычислить
                     k     k              k k    k
              k =1                k =1
                                                                       n
dn=ρ(x,Ln) = inf x − u n = inf Δ n , где Δn – зависит от u n = ∑ α ϕ , т.е.
             u n ∈ Ln            α1,...,α n                               k k
                                                                     k =1
от n комплексных переменных α1, α2,…, αn. Явная формула, полученная для Δ 2n
показывает, что dn достигается при αk = ck, k=1,2,…,n. Это свойство коэффициен-
тов с1, с2,…, сn называется экстремальным свойством коэффициентов Фурье.
Итак, доказана следующая
Теорма. Пусть (ϕk) ортогональная в пространстве со скалярным произведением Е,
пусть Ln – подпространство натянутое на ϕ1, ϕ2,…, ϕn. Тогда dn=ρ(x,Ln), х∈Е, да-
ется следующими формулами:
                 n
       dn = x − ∑ c ϕ ,                                                              (1)
                    k k
               k =1
                    n    2     2
      d n2 = x 2 − ∑ c     ϕ     ,                                                    (2)
                       k     k
                  k =1
где ck, k=1,2,…,n – коэффициенты Фурье элемента х по системе (ϕk).

Страницы