Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 23 стр.

                                        23


Определение 1. Ортогональная система (ϕk) из гильбертова пространства Н назы-
                                      ∞
вается полной, если для любого х∈Н ∑ c ϕ = х (ряд Фурье, составленный
                                           k k
                                    k =1
для х, сходится к х).
Полная ортогональная система называется ортогональным базисом гильбертова
пространства Н.

                             n      2           n    2     2
Из предыдущего имеем х − ∑ c ϕ        = x2− ∑ c        ϕ     . Отсюда прихо-
                                k k                k     k
                           k =1               k =1
дим к заключению: для того чтобы система (ϕk) была полной, необходимо и дос-
таточно, чтобы
                   ∞   2   2   2
                   ∑ ck ϕ k = x .                                          (1)
                  k =1
Таким образом, в случае полной системы и только в этом случае неравенство Бес-
селя превращается в равенство. Это равенство называется равенством Парсеваля-
Стеклова. Заметим, что полнота ортогональной системы означает, что ее нельзя
дополнить до более широкой ортогональной системы путем присоединения но-
вых элементов.
Определение 2. Ортогональная нормированная система (ϕk) называется замкну-
той, если для любого х∈Е справедливо равенство
                        ∞
                        ∑ ck 2 = x .                                       (2)
                       n =1
Замкнутость системы (ϕk) равносильна тому, что для каждого f∈Н частичные
                  ∞
суммы ряда Фурье ∑ c nϕ n сходятся к f.
                 k =1
Понятие замкнутости ортогональной нормированной системы тесно связано с по-
нятием полноты системы.
Теорема. В сепарабельном евклидовом пространстве Е всякая полная ортогональ-
ная номированная система является замкнутой и обратно.
Доказательство. Пусть система (ϕk) замкнута, тогда каков бы ни был элемент
х∈Е, последовательность частичных сумм его ряда Фурье сходится к f. Это озна-
чает, что линейные комбинации элементов системы (ϕn) полны в Е, т.е. система
(ϕn) полна. Обратно, пусть система (ϕn) полна, т.е. любой элемент х∈Е можно
                                                               n
сколь угодно точно аппроксимировать линейной комбинацией      ∑ α kϕ k элемен-
                                                             k =1