Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 30 стр.

                                                       30



             1 π
        bn =    ∫ f ( x )sin(nx)dx ,       n =1,2,…                                      (5)
             π −π

      Итак, если функцию f(x) можно представить в виде тригонометрического
ряда (1), то коэффициенты a n , a n , bn вычисляются по формулам (3)-(6).

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Числа a 0 , a n , bn называются коэффициентами Фурье для
функции f(x), а тригонометрический ряд (2) с такими коэффициентами – рядом
Фурье для f(x).
      Докажем, что промежуток интегрирования [− π , π ] для периодической с пе-
риодом 2 π функции можно заменить любым промежутком [a, a + 2π ] , a ∈ R , дли-
на которого равна 2 π .
                            a + 2π           0            2π            a + 2π
        Действительно,         ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
                               a             a             0              2π

Если в последнем интеграле произвести замену переменной по формуле x = 2π + t ,
dx = dt , то
                              a + 2π           a                 a
                                 ∫ f ( x )dx = ∫ f (2π + t )dt = ∫ f (t )dt ,
                                2π             0                 0

Так как из-за периодичности функции f (2π + t ) = f (t ) .
Поэтому
                        a + 2π           0 2π a a 2π a 2π
                           ∫ f ( x )dx = ∫ + ∫ + ∫ = − ∫ + ∫ + ∫ = ∫ f ( x )dx .
                           a             a 0 0 0 0 0 0

Если вместо а подставим - π , то получим
                                     π            2π
                                     ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx . ▲
                                    −π             0

Таким образом, коэффициенты Фурье можно вычислить по формулам

                      1 a + 2π
               an =        ∫ f ( x ) cos(nx)dx,       n = 0, 1,2                               (6)
                      π a

                   1 a + 2π
              bn =      ∫ f ( x )sin(nx)dx,           n = 1,2,…
                   π a