Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 32 стр.

                                                        32



                            1 π                     1 ⎛⎜ 0 ⎛ 1 ⎞          π ⎞ 1
                       a0 =      ∫    f ( x ) dx  =        ∫ ⎜ −  ⎟ dx  + ∫ dx ⎟⎟ = ;
                            π −π                    π ⎜⎝ − π ⎝ 2 ⎠        0 ⎠ 2
                     1 π                                1 ⎛⎜ 0 ⎛ 1 ⎞                π               ⎞
                                                                                                    ⎟ = 0,
               an =       ∫  f ( x ) cos(  nx  ) dx =        ∫  ⎜  ⎟ cos( nx ) dx +  ∫ cos( nx ) dx
                     π −π                                  ⎜
                                                       π ⎝−π ⎝ 2⎠                                   ⎟
                                                                                    0               ⎠
      1 π                           1⎛ 0 ⎛ 1⎞                        π             ⎞ cos(nx) 0             cos(nx) π
bn =      ∫ f ( x) sin(nx)dx = ⎜⎜ ∫ ⎜ − ⎟ sin(nx)dx + ∫ sin(nx)dx ⎟⎟ =                                  −            =
      π −π                          π ⎝−π ⎝ 2⎠                        0            ⎠      2 πn     −  π       n    0   2

  3⎛⎜1 − (−1) n ⎞⎟ ⎧⎪ , n − нечётное
                       3
= ⎝              ⎠ = πn
                    ⎨ 0, n − чётное.
        2πn         ⎪
                    ⎩
 Данная функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, её график изо-
                                               бражён на рис.1




                                                Рисунок 1.

                                  1 3 ∞ sin (2k + 1)x
Следовательно,         f ( x) =    +    ∑             . ▲
                                  4 π n = 0 2k + 1

             11. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
       Предположим, что f(x) – нечётная 2 π - периодическая функция. В этом слу-
чае f(x)cos(nx) – чётная функция, поскольку f(-x)cos(-nx)=f(x)cos(nx), a f(x)sin(nx)
– нечётная функция, так как f(-x)sin(-nx)= - f(x)sin(nx). Поэтому коэффициент ряда
Фурье а n , bn равны:

                      1 π                         2π
               an =      ∫ f ( x ) cos( nx ) dx =  ∫ f ( x) cos(nx)dx           (n=0,1,…),
                      π −π                        π0