Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

34
Следовательно,
∑
∞
=
+
+
−=
0
2
)12(
))12cos((4
2
n
k
xk
x
π
π
. ▲
Рисунок 2
12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ НА ОТРЕЗКЕ [0,π]
Пусть f(x) определена на отрезке
[
]
π
,0
. Для того, чтобы функцию f(x)
разложить в ряд Фурье на этом отрезке, доопределим эту функцию произвольным
образом на отрезке
[
]
0,
π
−
. Таким образом, получаем функцию, которая уже опре-
делена на отрезке
[
]
π
π
,
−
. Рассмотрим два случая:
1)
Функцию f(x) , заданную на
[]
π
,0
, продолжим на отрезок
[
]
0,
π
−
так, что вновь
полученная функция f
1
(x) , была чётной:
⎩
⎨
⎧
∈
−∈−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
,,0),(
.0,),(
)(
1
π
π
xеслиxf
xеслиxf
xf
В таком случае говорят, что f(x) продолжена на
[
]
0,
π
−
чётным образом
Рисунок 3 
                                                    34


Следовательно,

                  π       4 ∞ cos((2k + 1) x)
             x=       −       ∑               .▲
                  2       π n = 0 (2k + 1) 2




                                            Рисунок 2


        12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ НА ОТРЕЗКЕ [0,π]
            Пусть f(x) определена на отрезке [0, π ] . Для того, чтобы функцию f(x)
разложить в ряд Фурье на этом отрезке, доопределим эту функцию произвольным
образом на отрезке [− π ,0] . Таким образом, получаем функцию, которая уже опре-
делена на отрезке [− π , π ] . Рассмотрим два случая:
1) Функцию f(x) , заданную на [0, π ] , продолжим на отрезок [− π ,0] так, что вновь
полученная функция f1(x) , была чётной:

                      ⎧ f ( x), если x ∈ ⎡⎢⎣0,π ⎤⎥⎦,
             f ( x) = ⎨
              1       ⎩ f (− x), если x ∈ ⎢⎣ − π ,0⎥⎦.
                                           ⎡         ⎤




В таком случае говорят, что f(x) продолжена на [− π ,0] чётным образом




                                            Рисунок 3

Страницы