Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 36 стр.

                                                   36



                                             {
                                     f1( x) = − x, x ∈
                                                        [− π ,0]
                                              x, x ∈ [0.π ].




                                           Рисунок 5
Вычисляем коэффициенты Фурье для этой функции:

                                           2π
                                       a0 = ∫ хdx = π ;
                                           π 0

                                     ⎧
                      2π             ⎪⎪
                an = ∫ x cos(nx)dx = ⎨ 0, еслиn = 2k , k = 1,2,...,
                    π 0                    4
                                      ⎪−     , еслиn = 2k + 1, k = 0,1,...
                                      ⎪⎩ n 2

(см. пример в 1.4).
Итак,

                            π       4 ∞ cos((2k + 1) x)
                       x=       −       ∑               ,          x ∈ [0, π ]
                            2       π k = 0 (2k + 1) 2

2) Функцию f(x) продолжим на [− π ,0] нечётным образом составим новую функ-
цию f 2 ( x) по формуле f 2 ( x) = x, x ∈ [− π , π ] .
Вычислим коэффициенты Фурье для этой функции:
                   ⎧                      1         ⎫
   2π              ⎪ sin(nx)dx = dv v = − n cos(nx) ⎪   2 x cos(nx) π 2 π               2
bn ∫ x sin(nx)dx = ⎨ u = x                          ⎬=−              +   ∫ cos(nx)dx = − (−
   π 0             ⎪                du = dx         ⎪        πn     0 πn 0              n
                   ⎩                                ⎭
             2
= (−1) n + 1
             n

Итак,