Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 38 стр.

                                                       38



                                    ⎧ πx
             1 π    ⎛ lt ⎞          ⎪t = l
        an =    ∫ f ⎜ ⎟ cos(nt )dt =⎨
             π −π ⎝ π ⎠                   π
                                    ⎪ dt = dx
                                            ⎩      l

    1 l             nπx
=     ∫ f ( x) cos(     )dx, n=0,1,…                                                 (6)
    l−l              l

Аналогично,

                   1 π ⎛ lt ⎞            1 l            nπx
              bn =    ∫ f ⎜ ⎟ sin(t )dt = ∫ f ( x) sin(     )dx,           n=1,2,…     (7)
                   π −π ⎝ π ⎠            l−l             l

        Если f(x) – чётная на [− l, l ] функция, то bn=0 (n=1,2,…)

                                       2l             nπx
                                  an    ∫ f ( x) cos(     )dx, n=0,1,…
                                       l0              l

Ряд Фурье такой функции имеет вид:
                                              a    ∞         nπx
                                      f ( x) = 0 + ∑ an cos(     ).
                                               2 n =1         l

Если f(x) – нечётная на [− l, l ] функция, то an=0 (n=0,1,2,…),

                                 2l             nπx
                             bn = ∫ f ( x) sin(     )dx,        n=1,2,…,
                                 l0              l

а сам ряд Фурье имеет вид:
                                                 ∞         nπx
                                        f ( x) = ∑ bn sin(     )dx.
                                                n =1        l

ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом Т=2 функцию f(x),
заданную формулой

               f ( x) = ⎧⎨ 0,−1 < x ≤ 0;
                         ⎩ x ,0 < x ≤ 1 .

        Эта функция на отрезке [− 1,1] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.
        Вычисляем коэффициенты Фурье: