Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 43 стр.

                                                          43



                              1∞      ∞
                   f ( x) =     ∫ d ω ∫ f (t ) cos(ω (t − x))dt.                  (7)
                              π 0 −∞

     Это выражение назовём двойным интегралом Фурье для непериодической
функции

f ∈ L1 ]− ∞, ∞[.

                                     1 ∞
       Замечание. Интегральная сумма    ∑ Φ (ω k ) ∆ ω отличается от классиче-
                                     π k =1           k
ской интегральной суммы тем, что в этой интегральной сумме значения Φ(ω k )
меняются с изменением l(l → ∞!). Поэтому предельный переход l → ∞ требует
соответствующего обоснования. Однако этого теоретического вопроса касаться не
будем.
       ПРИМЕР. Представить функцию
                                                      ⎧1, при x < 1,
                                                      ⎪
                                                      ⎪ 1 , при x = 1
                                                      ⎪2
                                                      ⎪⎪ ,
                                             f ( x) = ⎨
                                                          0, при x > 1
                                                       ⎪
                                                       ⎪
                                                       ⎪
                                                       ⎪
                                                       ⎪⎩

интегралом Фурье.
       Очевидно, что эта функция f ∈ L1 ]− ∞, ∞[. Поэтому

           ∞                                           t =1
         1
                1                   1 ∞ sin(ω (t − x))                    2 ∞ sin(ω )
 f ( x) =π ∫ dω ∫ cos(ω (t − x))dt = ∫                       dω ⇒ f ( x) = ∫          cos(ωx)dω
           0   −1                   π 0      ω                            π 0 ω
                                                       t = −1
Так как f(0)=1, то

                                        2 ∞ sin(ω )      ∞ sin(ω )     π
                                   1=     ∫         dω ⇒ ∫         dω = .
                                        π 0 ω            0 ω           2

Итак, используя интеграл Фурье, получили интересный результат. Напомним, что
                       sin(ω )
первообразная функция          . не может быть выражена в конечном виде.
                                        ω
       Выражение