Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

45
∫
∞
=
0
cos)(
2
)( tdttfa
ω
π
ω
, (1)
∫
∞
=
0
cos)()(
ωωω
xdaxf . (2)
II.
Пусть
][
+∞∞−∈ ,
1
Lf
и является нечётной функцией.
Тогда
0)( ≡
ω
a
и
∫
∞
=
0
sin)(
2
)( tdttfb
ω
π
ω
, (3)
∫
∞
=
0
sin)()(
ωωω
tdbxf . (4)
Если функция f определена на
]
[
+∞,0
(или
]
[
0,
∞
−
), то целесообразно её доопреде-
лить на другой половине оси таким образом, чтобы она была чётной или нечёт-
ной. Тогда сможем использовать представленные выше формулы (1)-(4). В свою
очередь, эти формулы можно представить в другой симметричной форме. С этой
целью обозначим:
∫
∞
=
0
cos)(.
2
)(
~
tdttfa
ω
π
ω
, (5)
∫
∞
=
0
sin)(
2
)(
~
tdttfb
ω
π
ω
. (6)
Тогда формулы (2) и (4) принимают вид:
ωωω
π
xdaxf cos)(
0
~
2
)(
∫
∞
=
, (7)
ωωω
π
xdbxf sin)(
0
~
2
)(
∫
∞
=
.
Функцию
a
~
)(
ω
назовём косинус-преобразиванием Фурье функции
f
, а
)(
~
ω
b
- си-
нус преобразованием Фурье.
ПРИМЕР. Найти косинус - и синус- преобразования Фурье для функции 
                                                    45



                         2∞
             a(ω ) =       ∫ f (t ) cos ωtdt ,                               (1)
                         π 0

                      ∞
              f ( x) = ∫ a (ω ) cos ωxdω .                                   (2)
                       0

II. Пусть f ∈ L1 ]− ∞,+∞[ и является нечётной функцией.

Тогда a (ω ) ≡ 0 и

                         2∞
             b(ω ) =       ∫ f (t ) sin ωtdt ,                               (3)
                         π 0

                      ∞
              f ( x) = ∫ b(ω ) sin ωtdω .                                    (4)
                       0
Если функция f определена на ]0,+∞[ (или ]− ∞,0[ ), то целесообразно её доопреде-
лить на другой половине оси таким образом, чтобы она была чётной или нечёт-
ной. Тогда сможем использовать представленные выше формулы (1)-(4). В свою
очередь, эти формулы можно представить в другой симметричной форме. С этой
целью обозначим:

                           2∞
             a~ (ω ) =      . ∫ f (t ) cos ωtdt ,                            (5)
                           π 0

             ~             2∞
             b (ω ) =        ∫ f (t ) sin ωtdt .                             (6)
                           π 0

Тогда формулы (2) и (4) принимают вид:

                          2 ∞~
              f ( x) =      ∫ a (ω ) cos ωxdω ,                        (7)
                          π 0

                          2 ∞~
              f ( x) =      ∫ b (ω ) sin ωxdω .
                          π 0
                                                                       ~
Функцию a~ (ω ) назовём косинус-преобразиванием Фурье функции f , а b (ω ) - си-
нус преобразованием Фурье.
      ПРИМЕР. Найти косинус - и синус- преобразования Фурье для функции

Страницы