Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 50 стр.

                                                            50


                                                        1                                              ω
     Амплитудный спектр F (ω ) =                                     . Фазовый спектр ϕ (ω ) = arctg     .
                                                     α2 +ω2                                            α
Отметим, что преобразование Фурье для этой функции существует только при
α > 0 . Если же α < 0 , то f не является абсолютно интегрируемой.

                   −α x
2.    f ( x) = e          .

                              0                 ∞                      2α
                     F (ω ) = ∫ eαt e − iωt dt + ∫ e − αt e − iωt =         .
                                                                    α 2 +ω2
                             −∞                  0
Очевидно, что
                                                2α
                                 F (ω ) =               ;            а ϕ (ω ) = 0 .
                                            α2 +ω2
               ⎧            τ
               ⎪ 1, при x <   ,
3.    f ( x) = ⎨            2
                            τ
               ⎪ 0, при x > .
               ⎩             2
                                     τ                           τ            τ              τ
                                +                                        iω           − iω
                              2             e − iωt 2                         2 −e           2
                    F (ω ) = ∫ e − iωt dt =
                                                          e
                                                        =                                        .
                              τ              − iω τ                             iω
                            −                       −
                              2                       2

Отсюда следует, что

                                                        ⎧               ωτ
                     2          ωτ
                                                                              (    )
                                                        ⎪ 0, при 2πn < 2 < 2n + 1 π ,
         F (ω ) =         sin        ,а      − ϕ (ω ) = ⎨
                     ω                                                       ωτ
                                2                       ⎪π , при (2n + 1)π <    < 2(n + 1)π .
                                                        ⎩                     2
                1, приx ≥ 0,
4.   1( x) = ⎧⎨ 0, приx < 0.
              ⎩
      Очевидно, что эта функция не является абсолютно интегрируемой. Поэтому
к ней нельзя применить формулу прямого преобразования Фурье. Вспомним
спектр функции

                                                   ⎧⎪ e − αx , приx ≥ 0,
                                          f ( x) = ⎨ 0, приx < 0.
                                                    ⎪⎩