Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

52
Видим, что функция спектральной плотности дельта-функции является по-
стоянной на всей бесконечной частотной оси.
6.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
>
<−
=
0,0
,0,1
.0,1
sgn
xпри
xпри
xпри
x
Эта функция тоже не является абсолютно интегрируемой.
Представим эту функцию следующим образом:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
<
→
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
>
→
= )(1
)0(
0
lim)(1
)0(
0
limsgn x
x
e
x
x
x
e
x
x
α
α
α
α
.
Тогда
{} {}
{}
,
2
sgn
)
22
(
2
0
limsgn
0
0
0
limsgn
ω
ωα
α
ωαωα
α
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
→
=⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∫
∞−
−
∫
∞
−−
→
=
xF
i
xFdx
xi
e
x
edx
xi
e
x
exF
{}
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<−
=
,0,
2
.0,
2
)sgn(
ω
π
ω
π
ϕ
при
при
xF
7.
xxf
0
cos)(
1
ω
=
и
xxf
0
sin)(
2
ω
=
, R
x
∈
.
Так как и эти функции не являются абсолютно интегрируемыми, то и к ним
нельзя применить формулу прямого преобразования Фурье. Поэтому сначала ог-
раничим эти функции таким образом:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−∈
−∉
=
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
,
2
,
2
,
0
sin
.
2
,
2
,0
)(
*
1
ττ
ω
ττ
приxx
приx
xf
Применив к функциям
)(
*
1
xf
и
)(
*
2
xf
, формулу прямого преобразования
Фурье, а потом перейдя к пределу при
∞
→
τ
, получаем 
                                                      52


     Видим, что функция спектральной плотности дельта-функции является по-
стоянной на всей бесконечной частотной оси.

                    ⎧1, при x > 0,
                    ⎪⎪ 0, при x = 0
6.          sgn x = ⎨
                        − 1, при x < 0.
                     ⎪
                     ⎪⎩

        Эта функция тоже не является абсолютно интегрируемой.
Представим эту функцию следующим образом:

                       sgn x = lim ⎛⎜ e − αx ⋅ 1( x) ⎞⎟ − lim ⎛⎜ eαx ⋅ 1( x) ⎞⎟ .
                              α → 0⎝                  ⎠ α → 0⎝                ⎠
                              ( x > 0)                   ( x < 0)

Тогда

                ⎛∞                      0                ⎞                   ⎛      2     ⎞
F {sgn x} = lim ⎜ ∫ e − αx e − iωx dx − ∫ eαx e − iωx dx ⎟ ⇒ F {sgn x} = lim ⎜ −          ⎟=
                ⎜
           α → 0⎝ 0                                      ⎟                   ⎜
                                                                        α → 0⎝ i(α + ω ) ⎟⎠
                                                                                  2   2
                                       −∞                ⎠
               2
F {sgn x} =        ,
              ω
                                ⎧π
                                ⎪ 2 , приω > 0,
               ϕ ( F {sgn x}) = ⎨
                                   π
                                ⎪ − , приω < 0.
                                ⎩ 2
        7. f1( x) = cos ω 0 x и f 2 ( x) = sin ω 0 x , x ∈ R .

      Так как и эти функции не являются абсолютно интегрируемыми, то и к ним
нельзя применить формулу прямого преобразования Фурье. Поэтому сначала ог-
раничим эти функции таким образом:

                                          ⎧                      ⎤ τ τ⎡
                                          ⎪⎪  sin ω 0 x , приx ∈ ⎥ − , ⎢,
                                  *                              ⎥⎦ 2 2 ⎢⎣
                                f1 ( x) = ⎨
                                           ⎪ 0, приx ∉ ⎥ − τ , τ ⎢.
                                                           ⎤       ⎡

                                           ⎪⎩              ⎥⎦ 2 2 ⎢⎣


     Применив к функциям f1* ( x) и f 2* ( x) , формулу прямого преобразования
Фурье, а потом перейдя к пределу при τ → ∞ , получаем

Страницы